MURC 视域下圆的周长意义与测量方法的教学程序设计

陆有海

一、激活方形周长的测量经验，引出圆形周长的测量问题

1．什么是周长？

一周的长度。

2．图形的周长指什么？

某一图形一周的线段长度的总和。长方形（正方形）的周长是指四条边的长度的总和（两组边的长度的总和）；三角形的周长是指三条边的长度的总和。

3．这些图形的周长如何测量？

长方形的周长：若知道 a、b、c、d，则可算 l=a+b+c+d；若不知道 a、b、c、d，则一定不可算；但是，a、b、c、d是线段，可以通过测量把不知道变成知道，也可以直接测量“绕一周的绳子长度”。

三角形的周长：若知道 a、b、c，则可算 λ=a+b+c；若不知道 a、b、c，则一定不可算；但是，a、b、c 是线段，可以通过测量把不知道变成知道，也可以直接测量“绕一周的绳子长度”。

表1：借助方形构造需要研究的图形知识结构体系

二、经验引领探索方向，逻辑推动方法创新

图形的周长可以直接通过绕绳子的方法直接测量获得结果；根据图形的特征可以通过测量相应边的长度（图形的特征量数）并通过计算获得结果；由给定的相关边的长度（图形的特征量数）通过计算获得结果。

这样，到目前为止，图形周长问题解决的策略性途径应该有三条：全量途径、半量半算途径、全算途径。显然，这三条途径已知条件逐一增加，数学的抽象性逐渐增强，数学化水平越来越高，学生的数学知识不断地丰富，数学水平不断地得到提升。

第一种解决圆周长问题的思想策略——生活化的测量方法（度量）

如果不知道圆的周长，那么我们有什么解决问题的策略呢？显然，不知道圆的周长，我们可以量吗？因此，我们必须想方设法把曲的圆周化为直的线段（曲线段化为直线段），以适应度量线段长度的直尺，或者想方设法把“直尺”化为“曲尺”，以适应需要度量长度的曲的圆周。

因此，我们有了解决圆周长问题的第一种思想策略：曲化直或直化曲。

我们的教学就需要围绕“如何化曲为直？”“如何化直为曲？”而展开。显然，这是学生数学学习的过程而不是学习的目的，也不是圆周长问题的学习终点。因为，我们必然还会碰上无法进行“直曲”互化的圆周长的测量问题。

假设生活中有一个大的圆形物体，我们需要把它的圆形周长给测量出来，但又无法通过“直曲互化”直接测量圆形周长。这时，我们必须充分利用原有的图形周长测量经验，借助数学的联想与类比，提出需要去尝试探索的可以求解圆形周长问题的数学方法，即通过可以测量的图形特征量数，是否可以推算圆形的周长呢？（经验引领探索方向）

第二种解决圆周长问题的思想策略——数学化的测量方法（计算）

如果圆形的周长不知道，那么，我们是不是可以直接（或者方便地）测量圆形的直径或者半径呢？如果圆的直径或半径能够方便地测量，那么，我们是不是由此可以方便地获得圆形的周长呢？

显然，这是在方形周长问题的解决而获得的经验引领下，给了我们确定圆形周长问题的探索研究方向。从而也有了研究的对象：圆形周长与圆形直径（或半径）之间的关系，也就是，我们有了去关注“圆形周长”与“圆形直径”的动因。

圆的周长与圆的直径之间究竟有什么关系？回答这个问题，（逻辑推动方法创新）有两种思维方式：

一是关注一个圆的周长与直径，观察并发现：1个直径与一个周长哪个长？2个直径与一个周长哪个长？3个直径与一个周长哪个长？4个直径与一个周长哪个长？从而提出：一个圆的周长究竟有几个直径的长度呢？因此，就会去做包含除运算“c÷d=”，从而获得“c÷d=常数”的结论。

二是借助科学研究的经验，通过规范而科学的方法来研究圆的周长与直径之间的关系。研究的基本过程，总是：从已知活动中偶遇未知问题，然后，让我们回到已知活动中探索发现其中的变化规律，为解决未知问题提供有效的解决方法。这种过程就是科学研究的一般过程，这种过程就是数学实验的过程。数学实验需要获得一些特征量数，并从这些特征量数中感知、发现与证实特征量数之间的关系。

因此，我们引导学生去测量各自不同的生活圆形的圆形周长与直径。

表2：不同圆形的周长与直径的测量结果

周长与直径之间的关系需要观察发现，观察发现的能力基于人的数感与运算能力。通过5个具体的圆形周长与直径的特征量数的观察，我们可以获得周长与直径的大致关系。

这样自然就形成了一个问题：周长是直径的多少倍？

这样我们就会对周长与直径进行除法运算，从而获得“c÷d=常数”的结论。

这里的“常数”是个无理数，而且测量的周长与直径也都是近似数，通过学生自己的测量与计算很难与“π”保持高度的一致。因此，在教学过程中，我们还需要允许存在认知过程中的盲区，让教师直接给出圆周长与直径之间的除法运算的正确结果（c÷d=π）。

有了“c÷d=常数”的确定关系，若有 d，则有 c=dπ；若没有，则只要测量直径d（直线段）就行了，这样把测量曲线长度的问题就转化为测量直线段长度的问题了。

因此，如何测量圆形的直径成为圆形周长测量的基本问题，同时，也是圆形的认识教学活动中的重要问题。

三、重复训练巩固数学知识，概括总结积累活动经验

探索发现的数学活动与数学知识的应用活动，两者的目的与功能都不一样。数学知识的探索发现活动的目的是获得数学知识的创造，它的作用是发展学生的数学创造能力；数学知识的重复训练活动的目的是巩固理解数学知识，它的作用是进一步加深对数学知识的理解与巩固。

重复训练的进程一般经历形式化应用、实践性应用到发展性应用的过程。形式化应用主要进一步理解与巩固直径与周长之间的关系；实践性应用主要进一步体验数学与生活的密切联系，体验数学可以帮助我们解决生活问题，体会数学的价值，增强学好数学的信心；发展性应用主要进一步提升数学知识的综合运用能力，并为今后的学习奠定一定的基础。

1．形式化训练。

说一说周长的计算公式：c=dπ，其中，c表示圆的周长，d表示圆的直径。

用一用周长的计算公式：已知圆的直径d或半径r，求圆的周长。

2．实践性训练。

测量给定图形的直径（或半径）长度，计算圆的周长；

测量给定圆形事物（柱子等）的周长，计算圆的直径。

解决生活中圆形建筑与圆形装饰的用料长度。

3．发展性训练。

说一说圆形周长计算公式是怎样的（结果性知识）？说一说圆形周长计算公式是如何获得的（过程性知识）？说一说获得圆形周长计算公式的体会是什么（经验性知识）？说一说你还知道哪些与圆有关的知识（历史性知识）？