用电流密度分析涡旋电场中导体回路的电势与电势差

郎 军 董洪琼

(重庆市第十一中学校,重庆 400061)

1 问题

涡旋电场本身不是保守场,不能引入电势的概念,但在涡旋电场中存在导体回路时,要在导体壁“感应”出电荷分布,从而在导体内、外建立起稳恒电场,因而仍然可以引入电势和电势差的概念.在参考文献[1]中,赵坚老师和北大赵凯华先生对此已讲得非常清晰．现在中学教师普遍关心的是,导体回路内稳恒电场强度怎样定量计算?用场强的线积分计算出的电势差与用电路分析算出的电势差是否一致?

2 分析

2.1 稳恒电场的特点概述

设有一大块导体位于涡旋电场中(涡旋电场强度设为K),在涡旋电场力的作用下,导体内的自由电荷要发生定向移动,在导体内壁附近,K的法向分量会使导体壁上聚积电荷,产生附加电场(电场强度设为E),合场强为K+E,只要合场强K+E在导体内壁附近的法向分量不为0,自由电荷都还要受法向力,从而使电荷分布继续改变,达到稳定状态后,合场强K+E在导体内壁附近的法向分量必然处处为0．导体上的电荷分布也保持稳定,它产生的电场E被称为稳恒电场,与静电场(库仑场)有相同的性质．

对于由细导线组成的闭合回路,可以认为导线内各处的电流密度j的方向都沿导线的切向,由j=σ(K+E),可以认为细导线内各处合场强度

K+E的方向都沿导线切向,即法向分量抵消(Kn+En=0),因此有j=σ(Kt+Et)．如果细导线粗细均匀且材料的电导率σ为常数,由电流强度相等还可得Kt+Et的值在同一支路中处处相等.如果电导率σ和细导线的横截面积S不相同,则在同一支路中σ(Kt+Et)S为不变量．

2.2 实例分析

图1

2.2.1 实例1

如图1所示,在虚线圆形区域内有随时间t均匀增大的匀强磁场,B=ct,c为常量,在磁场中同心放置一个半径为R的圆形导体回路．导体回路由材料1(σ1,l1,S1)和材料2(σ2,l2,S2)串联而成,图中A、C为连接点．试求A、C间的电势差UAC．

方法1:根据电路分析求解.

方法2:借助电流密度求解.

根据本文2.1的分析,导体表面的“感应”电荷及A、C交界面上的累积电荷共同激发的稳恒电场要确保回路内任一点K+E沿导线的切向,考虑到本问题的对称性,回路中K只有切向分量,因此可以确定,在回路内两种介质内部各处的E也只有切向分量,并且同一介质中E的切向分量大小相等,分别设为E1和E2(以逆时针方向为正)．

由电流的连续性可得

σ1(K+E1)S1=σ2(K+E2)S2.

(2)

由静电场环路定理有

E1l1+E2l2=0.

(3)

由(2)、(3)两式解得

A、C的电势差

对比(1)、(6)两式,结果相同．

讨论:(1)若σ2S2=σ1S1,则E1和E2都为0,导线内无静电场,导线表面和A、C处分界面也无电荷分布,整个空间都无静电场,也可以说静电场强度处处为0,因此各处等势,导体上任意两点间都会无电势差．这种情况下用前述的方法1计算也可以得到导体上任意两点间电势差都为0．

图2

(2) 若σ2S2>σ1S1,则E1>0,E2<0,在A、C两处分别会有正、负电荷聚积,同时在导线表面电荷分布的调节下,稳恒电场的电场线大致如图2所示(仅是示意图且将导线横截面做了放大处理)．σ2S2<σ1S1的情况可同理分析．

2.2.2 实例2

图3

如图3所示,在虚线圆形区域内有随时间t均匀增大的匀强磁场,B=ct,c为常量,在磁场中偏心放置一个半径为R的圆形细导体回路,两圆心的距离设为d,导体回路材料的电导率为σ,粗细均匀,横截面积为S．试求导线环上哪两点间的电势差最大,并求这个最大电势差的值．

解析:

① 求电路中的电流密度j.

② 求导体回路上任一点K沿回路的切向分量.

r2=d2+R2+2dRcosθ,

d2=r2+R2-2rRcosα,

化简有

K的切向分量为

Kt=Kcosα.

(9)

化简得

③ 求导线回路内各点的稳恒电场强度E.

设切向分量沿逆时方向为正,则

j=σ(Kt+Et).

(11)

由(7)、(10)、(11)式得

各点E和K的法向分量处处抵消,即Kn+En=0,由此还可求得回路内各点稳恒电场强度E的法向分量．

④ 求最大电势差.

根据(12)式,在图3中A点和D点Et=0;在DGA段,回路内Et<0,沿顺时针方向;而在ACD段,回路内Et>0,沿逆时针方向;可见回路中A点电势最高,D点电势最低,A、D间电势差最大．

(13)

当d=0,即两圆同心放置时,Et=0,Umax=0,回路上任意两点都是等势的．

3 结语

在涡旋电场的导体回路中谈电势和电势差,指的是因涡旋电场在导体上“感应”的电荷产生的稳恒电场的电势和电势差．利用本文介绍的借助电流密度矢量的方法,可以求出细导线回路中各点的稳恒电场强度E(导线外部空间的稳恒电场强度却不易求出),再求稳恒电场强度E沿导线路径的线积分,可以求得导线上任意两点的电势差,算出的结果与用传统的电路分析算出的结果一致.这不仅表明了导线内稳恒电场的存在,在涡旋电场中的导体回路中谈电势和电势差是科学的,也证明求导体回路中电势差的传统方法是正确的．