一类零点问题的多角度尝试与探究

陈小双

摘 要 函数的零点问题是高中数学的重要内容，它可以与函数、方程、不等式等其他主干知识形成交汇。这类问题涉及的知识面广，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的难点，同时也是高考命题的一个热点。利用典例破解此类问题的化归策略和处理技巧，提高学生的分析问题能力和解决问题能力，优化学生的思维品质。

关键词 函数零点；转化；解题策略

中图分类号：O629.11+3 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）06-0167-01

以二次函数为背景的零点问题在历年高考中、竞赛中和模拟卷上常常出现，在解决问题的过程中涉及的函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想对锻炼学生的综合解题能力培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用，解决此类问题其方法大致有双根法、线性规划、半分参+数形结合方法，本文试图以省统考、竞赛题和高考题为例，对以二次函数为背景的零点问题进行剖析，从不同角度归类并探究其解题策略。

问题：【2016.12省统考】已知函数 在区间（0，1）上有两个零点，则 的取值范围____________。

一、利用二次函数的双根式

思路：对于二次函数 可以写出它的双根式 表明其两个根为 ，把函数的零点问题转化为二次函数双根式来求解。再结合对应是二次方程，由韦达定理得双根的和与积表示式，将目标参数用双根的和与积表示，根据双根的范围求出参数的范围。

解法1：

不妨设 是函数的两个零点，由韦达定理的易知 ，得

易知 ，

二、利用二次函数根分布结合线性规划

思路：根据二次函数的零点的定义转化为根的分布，再结合线性规划求出参数的范围。

解法2：

根据二次函数根分布， ，得到关于 的线性规划的可行域解得

三、利用半分參再数形结合

思路：遇到函数的零点问题，运用函数与方程的思想将复杂的函数分离为两个简单的函数，分而治之，出现一个固定曲线，还有一个是基本初等函数的形式（一次函数），再结合图形达到解决问题的目的，充分利用了数形结合思想。

解法3：

由题意得，方程在（0，1）上有解 函数与函数在（0，1）有两个交点，即直线 过曲线OA（不包含端点）上一点，求 的取值范围。

由图易得，当 为 在O（0，0），A（1，-1）处的切线时，切线方程分别 ， ，分别有 的最大值与最小值即

以上通过对一道以二次函数零点为背景求参数取值范围问题的多角度的分析，总结了双根法、根的分布+线性规划、半分参+数形结合方法，沟通了知识之间的联系，使知识与方法融会贯通，可以增强发散思维能力，达到举一反三、触类旁通的目的。解题并不是以获得正确答案为目的，而是通过经历一道题的解决过程，发现解题规律，揭示本质，从而获得一类题的解题思想与方法。

参考文献：

[1]吕增锋.基于“直观想象”数学核心素养的解题策略——以浙江省2016年高考理科第19题为例[J].中学数学教学，2017（2）.