二次曲线的共形扩充

任新安

摘要：共形扩充是数学物理中一个重要的方法，本文考虑最简单的二次曲线的共形扩充。

关键词：二次曲线；共形扩充；圆锥面

近年来，物理学家们利用共形扩充的方法将de Sitter不变狭义相对论、爱因斯坦的狭义相对论和anti-de Sitter不变狭义相对论统一起来[1]，狭义相对论是定义在Lorentz空间上的，欧氏空间上能否有共形扩充呢？这是一个很有意思的问题。本文研究了最简单的欧氏空间——二次曲线。众所周知，有三种二次曲线，即：椭圆曲线、抛物线和双曲曲线，我们可以作一个伸缩变换将这些二次曲线可以变为如下形式

， ，

，

其中 分别表示三种曲线的弧长微分，而 。下面我们讨论这三种曲线上的共形扩充，对于圆 ，在坐标片 上，引入局部的Beltrami坐标

，这样 ， 令 （1）

这时圆的方程变为

这是圆锥面，也就是说对于一个圆，如果我们作一个共形扩充（1），我们就得到了一个圆锥面，这也是Dirac所定义的共形空间[2]，这时我们再考虑弧长微分，这时

我们再考虑双曲线 ，在坐标片 上，引入局部的Beltrami坐标 ，这样 ， 。

令 （2）

这时双曲线的方程变为

这也是圆锥面，也就是说对于一个双曲线，如果我们作一个共形扩充（3），我们也得到一个圆锥面，这时我们再考虑弧长微分，这时

我们再考虑抛物线的共形扩充，令

，在坐标片 上，再令

则弧长微元变为 ， .

下面我们用文献[3]的方法给出二次曲线上的共形变换，首先考虑抛物线上的共形变换。在上述变化下，圆锥面变为

考虑射影变换

其中 满足 ，而 如下定义

很显然，该变换保持圆锥面不变。令

引入局部坐标

则在局部坐标下，该变换为

在该变换下，弧长微元的变换为

其中

这说明，圆锥面上的等距变换限制在抛物线上时就是抛物线的共形变换。

下面我们来看圆的情形。假设圆锥面上的变换为

其中 满足 ，而 如下定义

很显然，该变换保持圆锥面不变。令

引入局部坐标

则在局部坐标下，该变换为

在该变换下，弧长微元的变换为

其中

这种讨论对于双曲线的情形也是成立的，由于这两者差别不大，所以这种情形我就省略了。

参考文献：

[1]H. Y. Guo， B. Zhou， Y. Tian， Z. Xu， The triality of conformal extensions of three kinds of special relativity[J]， Phys. Riev. D， 75 （2007） 026006.

[2]P. A. M. Dirac， Wave equation in the conformal space[J]， Ann. Math. 37（1936），171-201.

[3]華罗庚，从单位圆谈起，科学出版社，1977.