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谈不定积分计算的方法

2018-08-22王淑伶

东方教育 2018年14期
关键词:不定积分计算方法

王淑伶

摘要:不定积分是导数(微分)的逆运算,高职学生普遍学习起来吃力,怵头。本人通过多年的教学积累,谈谈对于这部分教学的领悟。

关键词:不定积分;计算;方法

不定积分的计算是定积分的计算、微分方程的求解及二重积分计算的基础,不定积分计算熟练对于定积分的计算,微分方程的求解,二重积分的计算起到事半功倍的作用。因此,教师在不定积分计算教学上不能一带而过,要肯下工夫,分析学生出错的原因并及时纠错,抓住学生的薄弱环节强化练习。

一、弄清不定积分的概念

(一)导数公式、运算法则,微分的概念及微分的运算法则是学习不定积分的基础。在学习不定积分之前要先复习这些内容。不妨出下列练习。

求下列函数的导数与微分

y=2,y=x,y=x2 , , , , ,

2、以下面两个例子引入不定积分的定义

例1设物体以速度 作直线运动,且当 时 ,求运动规律。

例2已知某曲线经过点 ,并且该曲线上任意点 处的切线斜率为 ,求这条曲线的方程。

学生通过解决这两个问题,弄清这两个问题都是:已知一个函数的导数,求这个函数。对不定积分有初步的了解——导数的逆运算。

(二)理解不定积分的符号 的含义

讲清符号的来源,求 =?,求的 。 表示f(x)的所有原函数。

(三)不定积分公式熟悉,熟用

多数学生学习只凭感性认识,看表面,忽视本质。比如 ,套了这个公式 。只看到被积函数的形式符合,忽视积分变量是谁。教师和学生一起分析错误的原因,达到对公式 認识到“ ,()是相同的变量”程度。教师要求学生对每个公式再认识,重视积分变量。

二、不定积分的方法

(一)直接积分法

直接积分法是直接用公式和用法则求积分的方法,它是最简单的方法。练习由简单到复杂,根据问题分析总结。

(1)求1、 ,2、 ,3、 ,4、 ,5、 ,6、 ,7、 ,8、 (最简单,直接代公式)

(2)求 (稍复杂)

(3)求 (再复杂)

在(2)题的基础上,学生自然知道(3)把被积函数化和。强调把被积函数化和是求积分的一个首要想法。

(4)求 (较难)

学生知道把被积函数化和化和,让学生自己先变形,可能五花八门,然后教师总结:把被积函数化和是求积分的一个变形手段,目的是能代入某个公式。不要为化和而化和。

(二)凑微分法

直接积分法是其它积分方法的基础,凑微分法是积分法的关键。学生对凑微分法非常头疼。

1、对基本积分公式的再认识

定理设 ,且 为可微函数

它表明:在基本积分公式中,自变量x换成任意可微函数 后公式仍成立。

让学生做练习,加深对公式的认识。

= = = =

2、用微分公式 换积分变量,常用凑微分公式熟悉熟用。

; (x>0)

; ;

3、由简单到复杂讲解练习。

(1)求 (简单)

学生很容易知道靠公式 ,把积分变量换成3x,用到微分公式 (讲清怎么从左变到右)。

(2)求 (较难)

让学生辨认 是否相等,说出理由。教师和学生共同总结出:题型 要用到这个微分公式 换积分变量。学生再做 ,体会整个过程。

(3)求 (较难)

先让学生考虑能否用直接积的方法解决,然后让学生观察x与 的关系: 的导数-2x与x就差个常数,用公式 换积分变量为 ,来达到符合公式的条件。

总结:题型 要用到 ,换积分变量。学生再做 ,领悟。最后练习

从练习发现学生的问题,找出症结,针对问题强重点讲解,攻破难点。让学生体会用微分公式 换积分变量,在微分运算熟练,积分公式熟悉的基础上,才能知道用哪个微分公式换积分变量,达到符合积分公式的要求。

(三)根式换元法

1、学生在做题时,选择积分的方法(根式换元法,凑微分法)上迷茫。通过练习 , ,来辨认积分的方法,知道 不能用直接积分法和凑微分法,需用根式换元法。

2、根式换元易出现的问题换不对,积分变量不换或换不对。以例 讲解。

设 ,让学生换进去,通过出现的问题—— ,提示点拨:, , ,学生体会换元以后,就化为直接积或凑微分。换积分变量为换元的变量,仍离不开微分公式 。

(四)、分部法

分部公式 = -

1、分步法与凑微分法在选择上容易出错。通过比较 与 ,得到 不能用凑微分解决,需用分步法分部法。

2、选u,dv关键对于初学者,选u,dv,容易出错。教师结合实际例题与学生探讨。

例求 U,dv的选择情况(1) (2) (3) 。先让同学按第一种选择去做,然后按第二种选择再试试(教师在黑板上扮演),课下再让学生按第三种选择试试。学生体会到U,dv的选择,不能随意。

例求 ,学生多数 ,发现v找不到,应该 。通过前面两例题得出选u,dv的依据和方法。

选择u和dv依据:(1)v容易求得;(2)右边的积分∫vdu比左边积分 容易。

选u,dv方法按着口诀“反对幂三指”选。意思是,当这几个类型的函数相乘时,取U的顺序就按这个来,谁排在前面,就

选谁当做U。比如说:求, ,应设 U=arctanx,dv=xdx,这样才能求出来。

三、一题多解

解法1 (化和,凑微分法)

解法2(换元法)

令t=1+x,则x=t-1,dx=dt

解法3(根式换元法)

令 ,则 ,dx=2tdt

解法4(分部法)

选择不同的积分方法,答案不同,可以用求导验证都对。应选择最简便的方法为佳。

四、做相似的题,学选择方法

有的学生学完不定积分的计算,总是往某个题上去套,一些表面看着差不多的题不能辨别区分,不知选择什么方法,怎么去分析。教师可以出相似题目让学生练习。

例如(1)求 , , ,

(2) , ,

通过做相似题目,学生在选择积分的方法上有了更深刻的认识。选择的顺序一般是直接积分法,凑微分法,(换元法,分部法)。

能选择正确的积分方法,达到运用方法自如,计算熟练。首先要基础知识(导数、微分运算)扎实,其次要多练习,从做题过程中悟出真谛。

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