基于面积和重心预测精度的IOWA算子的模糊变权组合预测模型

张宇菲，陈华友

（安徽大学 数学科学学院，合肥 230601）

0 引言

在现实生活中，很多问题的预测具有模糊性，比如在进行气温预测时，可以将一天中的最低和最高温度分别作为左端点和右端点，将一天中的平均温度作为中点，这样用三角模糊数就可以较全面地概括一天温度的变化。因此，探讨模糊信息的组合预测方法具有重要的理论和实际意义。文献[1-6]给出了三角模糊数的基本定义和一些单项预测方法，文献[7]给出了两种模糊组合预测方法。本文在此背景下，将三角模糊数转化为面积指标和重心指标两个指标[8]，并将诱导有序加权平均算子和相关系数的概念引入三角模糊数的组合预测中，构建了基于IOWA算子和相关系数的模糊变权组合预测模型，并通过实例分析说明提出预测方法的有效性和合理性，并对参数进行了灵敏度分析。

1 基本概念

定义1[1]：记 a=(aL，aM，aU)，其中 aL和 aU分别为 a 所支撑的上界和下界，aM为a的中值，并且有0≤aL≤aM≤aU，则称a为一个三角模糊数。三角模糊数的隶属函数可表示为：

关于三角模糊数，有如下一些运算法则。设 a=(aL，aM，aU)，b=(bL，bM，bU) ，则有：

其中L=(l1，l2…ln)T是与IOWAL有关的加权向量，满足

（1）加法运算：a⊕b=(aL+bL，aM+bM，aU+bU)

定义2[2]：设为 n 个二维数组，令：中按照从大到小的顺序排列的第i大的数的下标，则称函数IOWAL是由u1，u2…un所产生的n维诱导有序加权算术平均算子，简称为IOWA算子，ui称为ai的诱导值。

2 基于IOWA算子和相关系数的模糊组合预测模型的构建

2.1 序列的转换

对三角模糊数进行组合预测，若直接对三角模糊数的三个界值点分别建模进行预测，这样就违背了三角模糊数发展趋势的一个整体性以及相对位置顺序的错乱导致预测失效的现象[7]，本文按照三角模糊数序列转换的思想，通过引入隶属函数的覆盖面积和重心的概念，从整体性角度出发，将实际三角模糊数序列和各个单项预测方法的三角模糊预测序列转换成为对应的隶属函数的覆盖面积序列和重心序列。为此引入如下概念：

三角模糊数的面积指标可以衡量大部分单项预测方法预测值与实际值之间的误差，但是当第i种与第 j种单项预测方法三角模糊数预测值的面积相等时，其在面积指标下与实际值之间的误差相等，从而其基于面积指标的预测精度也就相同，然而，实际上这是两个不同的三角模糊数预测值，如图1所示。

图1第t时刻的实际值与第i种方法和第 j种方法的预测值

从图1可以看出，第i种与第 j种单项预测方法预测的三角模糊数预测值对应的面积Sit和面积Sjt相等，但第i种单项预测方法预测值明显优于第 j种单项预测方法，因此，基于面积指标的预测精度尚不能完全刻画三角模糊数的预测精度，为此引入重心指标的概念。

定义7：令：

2.2 利用转化后的序列构建模型

由定义5和定义8可以分别得到第t时刻的m种单项预测方法基于面积指标和重心指标的预测精度序列面取在面积指标下预测

定义10：令：精度和在重心指标下预测精度的平均值。

由定义10可以得到组合预测的三角模糊序列，再将

基于IOWA算子的组合预测是根据各时刻各单项预测方法预测精度的大小不同而赋予不同的权系数，预测精度越大，则单项预测方法赋予的权系数就越大，为了确定权系数，下面引入相关系数的概念。

定义11：设：

则称Rs为组合预测值序列与实际值序列之间基于面积指标的相关系数，Rg为组合预测值序列与实际值序列之间基于重心指标的相关系数。其中：

显然Rs和Rg都属于[0,1]区间，基于面积指标和重心指标的组合预测值序列与实际值序列之间的相关系数越大，则对应的模糊组合预测值就越好。

定义12：令：

系：

由式（10）和式（14），则有：

L=(l1，l2， …，lm)T，则有：

将式（16）代入到式（15）中，并考虑到双重求和符号的可交换性，则有：

同理，由式（9）和式（13），有

则式（11）可改写为如下形式：

显然，Rs和Rg都是关于权向量L=(l1， l2，…，lm)T的函数，要使三角模糊组合预测值与实际值之间更为接近，则需要分别极大化基于面积指标的相关系数Rs和基于重心指标的相关系数Rg，这实际上是一个多目标规划问题：

为此，本文引入参数α∈[0，1]，将Rs与Rg进行凸组合，使其变成一个单目标规划问题。则可以建立如下模型：

其中 IT=(1，1，…，1)T为元素全为1的m维向量，参数α体现基于面积指标的相关系数的重要性权重。式（22）的最优化模型可以通过MATLAB的优化工具箱或LINGO软件进行求解。

3 实例分析

为了证明基于IOWA算子和相关系数的模糊组合预测模型的可行性，下面分别应用三角模糊数基于面积指标的预测误差平方和（SSSE）、均方误差（SMSE）和均方百分比误差（SMSPE）以及基于重心指标的预测误差平方和（GSSE）、均方误差（GMSE）和均方百分比误差（GMSPE）作为衡量其预测结果的指标,其中：

表1 实际三角模糊数序列xt和各单项预测方法预测的三角模糊数序列x1t,x2t,x3t

利用文献[7]的数据对本文提出的模型进行实例分析，表1给出了实际三角模糊数序列和三种单项预测方法预测的三角模糊数序列的信息。

由式（2）和式（5）将三角模糊数序列转化为基于面积指标序列和基于重心指标序列后，再分别代入到式（4）、式（7）、式（8）中，得到三角模糊数的预测精度序列，再根据IOWA算子的定义，得到基于预测精度序列诱导的x-index(1t)，x-index(2t)，x-index(3t) ，然后将所得的数据转化为

面积序列和重心序列后代入模型（22）中，并取α=0.5，则可求得最优权重为：

则三角模糊数的组合预测值如表2所示。

表2 三角模糊数的组合预测值

由式（23）至式（28）计算出三角模糊数基于面积指标和基于重心指标的预测误差指标，从而说明本文所提出的组合预测方法的可行性。为了方便与单项预测方法进行比较，同时给出各单项预测方法的预测误差指标，如表3和表4所示。

表3 各预测方法基于面积指标的预测误差指标

表4 各预测方法基于重心指标的预测误差指标

由表3和表4可以看出，无论是在面积指标下，还是在重心指标下，本文所提出的三角模糊数的组合预测方法各项误差指标都低于各单项预测方法的预测误差指标，这说明本文所提出的三角模糊数的组合预测方法优于各单项预测方法，即本文提出的三角模糊数的组合预测方法是可行的。

4 模型参数α的灵敏度分析

下面对模型中的参数α进行灵敏度分析，参数α表示三角模糊数基于面积指标的相关系数的重要程度，α越大表明三角模糊数的面积指标的相关系数与重心指标的相关系数相比更加重要，即决策者认为面积指标比重心指标更能衡量三角模糊数的实际值与组合预测值之间的相关系数。由式（22）可知最优权重随着α的变化而变化，为了验证不同的α对所建立的模型是否都具有可行性，下面取α∈[0，1]，分别计算其对应的最优权重 l1，l2，l3以及各衡量指标，并绘制成图。

图2α与最优权重之间的关系

图3α与预测误差指标之间的关系

由图2可以看出随着α的增加，最优权重呈线性变化，l1随着α的增加而增加，l2随着α的增加而减少，l3保持不变始终为0。由图3可以看出，各项预测误差指标随着α的变化没有大的变化，因此本文中α可以取(0，1)中的任意值。

5 结束语

本文的预测序列是三角模糊数，首先将三角模糊数转化为面积序列和重心序列，然后分别对面积序列和重心序列建立基于IOWA算子和相关系数的组合预测模型，再将两者进行凸组合，得到最优组合预测模型，并通过实例分析验证模型的可行性。通过三角模糊数的组合预测模型的构建，有效地规避了各单项预测方法预测出来的三角模糊数序列所带来的信息偏差，使得预测值更加精确，有利于决策者更加准确地对问题作出判断。但本文中是将三角模糊数序列转化为面积序列和重心序列来进行建模的，在这一过程中是否会导致一些信息的流失还需进一步的探讨。