待定系数法在初中数学中的应用

吴琴

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的关系式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解得待定系数，从而使问题得以解决，这个方法叫待定系數法.此法在初中数学中有着广泛的应用，下面举例予以说明.

一、函数方面的应用

待定系数法最常见的就是在函数方面的应用，用以确定函数表达式.主要原因就是不管是一次函数、反比例函数还是二次函数都有其固定的形式，这为建立方程（组）提供了依据.

例1 已知二次函数的图像经过点（-1，

-6）、（1，-2）和（2，3）.求这个二次函数的关系式.

【分析】因为题中给的是图像过三个普通点，所以应该设二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），接着将点的横、纵坐标代入函数表达式，求出a，b，c的值.

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），

由题意得，[-6=a-b+c，-2=a+b+c，3=4a+2b+c，]解得[a=1，b=2，c=-5.]

解析式为：y=x2+2x-5.

【点评】本题主要考查的是如何用待定系数法确定函数的表达式，正确解答此题的关键是设出函数的一般形式，代入点的坐标，得到方程组，求出系数，即可求出函数表达式.

例2 已知关于x的一次函数y=kx+b的图像平行于直线y=-3x+4，且其图像经过点（3，0），求此一次函数的解析式.

【分析】两个一次函数的图像互相平行，即k的值相同.

解：因为一次函数y=kx+b的图像平行于直线y=-3x+4，所以k=-3，所求一次函数为y=-3x+b，

把x=3，y=0代入y=-3x+b中得0=-9+b，

∴b=9，

∴一次函数的解析式为y=-3x+9.

【点评】若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像互相平行，则k1=k2且b1≠b2.故求一次函数的解析式时，可先直接求出k的值，再找一个条件求出b的值即可.两个图像（直线）平移也属互相平行关系.

二、因式分解中的应用

例3 如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（ ）.

A.7 B.8 C.15 D.21

【分析】原多项式必能分解为三个一次因式的积，第三个因式应该是形如x+c的一次二项式，故可以考虑用待定系数法求解本题.

解：可设x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c），展开等号右边部分得x3+ax2+bx+8=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c，比较系数，

得[a=3+c，b=2+3c，8=2c，]求得[a=7，b=14，c=4.]

a+b=21，故选D.

【点评】本题主要考查因式分解的概念，解决本题的关键是利用代数恒等式的定义，系数对应相等，从而求出待定的系数.

例4 分解因式x4+x3+4x2-3x+5.

【分析】这是一个关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法分解成两个二次三项式的乘积.

解：设x4+x3+4x2-3x+5

=（x2+ax+1）（x2+bx+5）

=x4+（a+b）x3+（ab+6）x2+（5a+b）x+5，

比较等式两边同次项的系数，

得[1=a+b，①4=ab+6，②-3=5a+b，③]

由①③式确定a=-1，b=2，代入②成立，

∴x4+x3+4x2-3x+5=（x2-x+1）（x2+2x+5）.

【点评】在上述过程中，又因为5=（-1）×（-5），若设原式=（x2+ax-1）（x2+bx-5），则得到关于a，b的方程组无解.故运用待定系数法时，有时需要用计算来排除某种分解不可能的情况.

三、用于拆分分式

例5 已知：[x2-x+2xx-3x+2]=[Ax]+[Bx-3]+[Cx+2]，求A，B，C的值.

【分析】可直接去分母，得x2-x+2=A（x-3）（x+2）+Bx（x+2）+Cx（x-3）=（A+B+C）x2+（-A+2B-3C）x-6A，比较等式两边同次项的系数，得[1=A+B+C，-1=-A+2B-3C，2=-6A，]

解这个方程组得[A=-13，B=815，C=45.]

【点评】本题主要考查将一个分式分成几个分式的和.解决本题首先应将分母去掉，这样形式上会简单很多，然后等号两边分别整理，利用代数恒等式的定义，得到关于系数的方程组，从而求出待定系数的值.

综上，待定系数法实质上是一种求未知系数的方法.经常将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个代数恒等式.然后根据代数恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）