APP下载

待定系数法在初中数学中的应用

2018-08-15吴琴

初中生世界·九年级 2018年6期
关键词:恒等式因式表达式

吴琴

对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的关系式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解得待定系数,从而使问题得以解决,这个方法叫待定系數法.此法在初中数学中有着广泛的应用,下面举例予以说明.

一、函数方面的应用

待定系数法最常见的就是在函数方面的应用,用以确定函数表达式.主要原因就是不管是一次函数、反比例函数还是二次函数都有其固定的形式,这为建立方程(组)提供了依据.

例1 已知二次函数的图像经过点(-1,

-6)、(1,-2)和(2,3).求这个二次函数的关系式.

【分析】因为题中给的是图像过三个普通点,所以应该设二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),接着将点的横、纵坐标代入函数表达式,求出a,b,c的值.

解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),

由题意得,[-6=a-b+c,-2=a+b+c,3=4a+2b+c,]解得[a=1,b=2,c=-5.]

解析式为:y=x2+2x-5.

【点评】本题主要考查的是如何用待定系数法确定函数的表达式,正确解答此题的关键是设出函数的一般形式,代入点的坐标,得到方程组,求出系数,即可求出函数表达式.

例2 已知关于x的一次函数y=kx+b的图像平行于直线y=-3x+4,且其图像经过点(3,0),求此一次函数的解析式.

【分析】两个一次函数的图像互相平行,即k的值相同.

解:因为一次函数y=kx+b的图像平行于直线y=-3x+4,所以k=-3,所求一次函数为y=-3x+b,

把x=3,y=0代入y=-3x+b中得0=-9+b,

∴b=9,

∴一次函数的解析式为y=-3x+9.

【点评】若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像互相平行,则k1=k2且b1≠b2.故求一次函数的解析式时,可先直接求出k的值,再找一个条件求出b的值即可.两个图像(直线)平移也属互相平行关系.

二、因式分解中的应用

例3 如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( ).

A.7 B.8 C.15 D.21

【分析】原多项式必能分解为三个一次因式的积,第三个因式应该是形如x+c的一次二项式,故可以考虑用待定系数法求解本题.

解:可设x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c),展开等号右边部分得x3+ax2+bx+8=x3+(3+c)x2+(2+3c)x+2c,比较系数,

得[a=3+c,b=2+3c,8=2c,]求得[a=7,b=14,c=4.]

a+b=21,故选D.

【点评】本题主要考查因式分解的概念,解决本题的关键是利用代数恒等式的定义,系数对应相等,从而求出待定的系数.

例4 分解因式x4+x3+4x2-3x+5.

【分析】这是一个关于x的四次多项式,可考虑用待定系数法分解成两个二次三项式的乘积.

解:设x4+x3+4x2-3x+5

=(x2+ax+1)(x2+bx+5)

=x4+(a+b)x3+(ab+6)x2+(5a+b)x+5,

比较等式两边同次项的系数,

得[1=a+b,①4=ab+6,②-3=5a+b,③]

由①③式确定a=-1,b=2,代入②成立,

∴x4+x3+4x2-3x+5=(x2-x+1)(x2+2x+5).

【点评】在上述过程中,又因为5=(-1)×(-5),若设原式=(x2+ax-1)(x2+bx-5),则得到关于a,b的方程组无解.故运用待定系数法时,有时需要用计算来排除某种分解不可能的情况.

三、用于拆分分式

例5 已知:[x2-x+2xx-3x+2]=[Ax]+[Bx-3]+[Cx+2],求A,B,C的值.

【分析】可直接去分母,得x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3)=(A+B+C)x2+(-A+2B-3C)x-6A,比较等式两边同次项的系数,得[1=A+B+C,-1=-A+2B-3C,2=-6A,]

解这个方程组得[A=-13,B=815,C=45.]

【点评】本题主要考查将一个分式分成几个分式的和.解决本题首先应将分母去掉,这样形式上会简单很多,然后等号两边分别整理,利用代数恒等式的定义,得到关于系数的方程组,从而求出待定系数的值.

综上,待定系数法实质上是一种求未知系数的方法.经常将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个代数恒等式.然后根据代数恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式.

(作者单位:江苏省丰县初级中学)

猜你喜欢

恒等式因式表达式
活跃在高考中的一个恒等式
灵活选用二次函数表达式
极化恒等式在解题中的妙用
含偶重因式(x—a)2的函数高考题赏析
寻找勾股数组的历程
与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用
议C语言中循环语句
《分解因式》《提公因式法》测试题
《运用公式法》测试题
怎样确定一次函数表达式