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分类讨论 巧妙解题

2018-08-15尹琳琳

初中生世界·九年级 2018年6期
关键词:直角三角形抛物线题意

在解决一个问题时,有时无法用同一种方法去解决,需要用一个标准将问题划分成几个能用不同方法去解决的小问题,再将这些小问题一一加以解决,从而使整个问题得到解决,这就是分类讨论思想.

例1 (2016·西宁)⊙O的半径为1,弦AB=[3],弦AC=[2],则∠BAC度数为 .

【分析】连接OA,分AB、AC在OA的同侧、两侧两种情况求∠BAC的度数.过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据垂径定理求出AE、FA值,根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC.

解:有两种情况:

①如图1所示:连接OA,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∴∠OEA=∠OFA=90°,

由垂径定理得:AE=BE=[32],

cos∠OAE=[AEOA]=[32],∴∠OAE=30°,

同理∠OAF=45°,∴∠BAC=30°+45°=75°;

②如圖2所示:

∴∠BAC=45°-30°=15°;

故答案为:75°或15°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用.解题的关键是根据题意作出图形,求出符合条件的所有情况.

例2 (2017·河南)如图3,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=[2]+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为 .

【分析】如图4,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,于是得到结论;如图5,当∠MB′C=90°,推出△CMB′是等腰直角三角形,得到CM=[2]MB′,列方程即可得到结论.

解:①如图4,当∠B′MC=90°时,B′与A重合,M是BC的中点,∴BM=[12]BC=[122]+[12];

②如图5,当∠MB′C=90°时,

∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,

∴△CMB′是等腰直角三角形,

∴CM=[2]MB′,

∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点为B′,∴BM=B′M,∴CM=[2]BM,

∵BC=[2]+1,

∴CM+BM=[2]BM+BM=[2]+1,

∴BM=1.

综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为[122]+[12]或1,

【点评】本题考查了翻折变换的折叠问题、等腰直角三角形的性质,正确作出图形是关键.

例3 (2017·潍坊改编)如图6,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.点P是直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的解析式;

(2)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.

【分析】(1)由A、B、D三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程;当∠APE=90°时,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程.

解:(1)由题意可得[c=3,a-b+c=0,4a+2b+c=3,]

解得[a=-1,b=2,c=3,]

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.

(2)由图可知∠PEA≠90°,

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,

y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3),

∴点E的坐标为(3,0).

点P的坐标为(t,-t2+2t+3).

①当∠PAE=90°时,如图7,作PG⊥y轴,

图7

∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45°,

∴∠PAG=∠APG=45°,∴PG=AG,

∴t=-t2+2t+3-3,即-t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去);

②当∠APE=90°时,如图8,

图8

作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则PK=-t2+2t+3,AQ=t,KE=3-t,PQ=-t2+2t+3-3=-t2+2t,

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,

∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,

∴△PKE∽△AQP,∴[PKAQ]=[KEPQ],

即[-t2+2t+3t]=[3-t-t2+2t],

∵t≠3,t≠0,∴t2-t-1=0,解得t=[5+12]或t=[1-52]<[-25](舍去).

综上可知,存在满足条件的点P,t的值为1或[5+12].

【点评】本题为二次函数综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想和分类讨论思想等知识.本题综合性较强,计算量较大,难度较大.

(作者单位:江苏省丰县初级中学)

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