数学广角

李国品

[摘 要]教学有法，而无定法，“鸡兔同笼”问题的教学，确实让教师们绞尽脑汁。只是因为它比较抽象，学生难以接受，因此培养学生的思维能力、实践能力迫在眉睫。

[关键词]教学；数学；学习；小学生；兴趣；方法

一、数学广角——“鸡兔同笼”问题的意义

“鸡兔同笼”问题集趣味性、解题策略的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值，是实施开放式教学的好题材。教材呈现两种基本的解题思路：列表法和假设法。列表法能直观反映数据的变化，学生比较容易接受，但数据较大时比较繁琐，适用性有限；假设法是一种算术方法，计算比较简便，是解决此类问题的一种策略，但算理抽象，理解有一定难度。对于“鸡兔同笼”问题，一部分学生在此以前接触过，比如参加过“奥数”的，但多数学生还缺少独立解决问题的策略，没有体会到解决问题策略的多样性。所以，教学中，主要采用教师适当讲解与学生自主探究相结合的教学方式，让学生在尝试探索交流比较中，弄清“鸡兔同笼”问题的结构特征和解题策略，经历多样化解题的过程，初步形成解决此类问题的一般性策略。在掌握解决问题的方法后，引导学生反思提升，通过鸡兔同笼问题与生活中类似问题的比较，帮助学生建立“鸡兔同笼”结构特点和解决模型。

二、“鸡兔同笼”问题的教学方法

1.创设情境，激发学生的学习兴趣。数学教学活动必须激发学生的学习兴趣，调动学生积极性，引发学生的思考。上课伊始，教师出示主题情景图，利用《孙子算经》中的“鸡兔同笼”这一著名的数学趣题作为故事引入，生动地呈现出“鸡兔同笼”问题，对学生进行我国古代数学文化的熏陶和感染。随后，教师提出：“鸡兔同笼”问题为什么会流传至今呢？这既能让学生领略到这些问题的数学魅力，又能引发学生对学习和研究这类问题的数学价值产生更深入的思考，激起了他们探究这一数学问题的兴趣和欲望。

2.尊重学生差异，让学生体会解决问题的不同思路和方法。在教育教学中，教师要学生体会解决问题的不同思路和方法是很关键的。注意渗透化繁为简的思路。针对“鸡兔同笼”问题原题中的数据较大，不利于首次接触该类问题的学生进行问题的探究，因此采用教材的资源进行教学。意图是从比较简单的问题入手，让有个体差异的学生尝试解决，并结合讨论，着力引导学生从体验“鸡兔同笼”中鸡兔的头数和脚的只数关系到用猜测法、列表法、假设法和列方程解答的方法，经历逐步解决问题的过程。给予他们充足的空间多角度地思考，运用不同的方法探索问题的解决，进而达到方法的优化，实现了转化学生的学习方式，培养他们实践能力的目的。在问题的解决过程中，教师根据学生的不同解题思路和方法，适时地加以总结和归纳，注意引导学生理解解决这类问题的三种方法：

第一种方法是列表法。这种方法实质是枚举法，适合于问题中的数据比较的情况。因为列表法直观，所以学生也容易接受和理解。教师先出示表格，让学生试着把表格补充完整，最后根据脚的总只数去判断哪一组数据是正确的。如人教版数学第八册第104页例1，笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

列表法：

鸡 8 7 6 5 4 3 2 1 0

兔 0 1 2 3 4 5 6 7 8

脚的只数 16 18 20 22 24 26 28 30 32

从表中数据可知鸡是3只，兔是5只。

第二种方法是假设法。这种方法有利于培养学生的逻辑推理能力。假设笼子里都是鸡，那么兔就共有8×2﹦16只脚，这样就比问题中多26-16﹦10只脚。因为刚才是把兔子当成鸡，一只兔子少算了两只脚，那么多出的10只脚就是兔子的只数：10÷2﹦5只兔子。所以，鸡就有8-5﹦3只。反之，可以假设笼子里都是兔子，那么就总共有8×4﹦32只脚，这样就比问题中少32-26﹦6只脚。因为刚才是把鸡当成兔子。一只鸡多算了两只脚，那么多出的6只脚就是鸡的只数：6÷2﹦3只。所以兔子就有8-3﹦5只。

第三种方法是列方程解。这种方法有助于学生体会代数方法的一般性。列方程解是一种顺向思维，也便于学生的理解。虽然列方程解决问题是学生比较熟悉的，但是教师要着重注意引导学生找准问题中的等量关系，即，鸡的只数+兔的只数﹦总头数，鸡脚的只数+兔脚的只数﹦脚的总只数。这样，学生不难理解，1.如果设鸡有x只，那么根据总头数，兔就有（8-X）只，再根据每只鸡两只脚，每只兔四只脚的事实，结合题中的等量关系就能列出方程：2X+4（8-X）﹦26。2.如果设兔有X只，那么鸡就有（8-X）只，根据题中的等量关系就可以得出方程：4X+2（8-X）﹦26。学生只要列出方程，解方程就会是一件轻而易举的事情了。

三、拓寬视野运用知识模型解决问题

在日常的生活实际中，“鸡兔同笼”问题有很多的变式，通过让学生运用解决“鸡兔同笼”问题的方法来解决现实生活中的相关问题，这对学生的学习有很大的帮助。教学中，充分利用教材“做一做”中的“龟鹤问题”。有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？假设笼子里都是鹤，那么就共有40×2﹦80条，这样就比问题中少112-80﹦32条。因为刚才是把龟当成鹤，一只龟少算了两条腿，那么少出的32条就是鹤的只数：32÷2﹦16只。所以，龟的只数就有40-16﹦24只。反之，可以假设笼子里都是龟，那么就共有40×4﹦160条，这样就比问题中多160-112﹦48条。因为刚才是把鹤当成龟，一只鹤多算了两条腿，那么多出的48条腿就是鹤的条数：48÷2﹦24只。所以龟的只数就有40-24﹦16只。这是个流传于日本的民间数学趣题，租船、植树等三个问题资源来进行转化，让学生用解决“鸡兔同笼”问题的知识模型解决这些变式题，收到了良好的效果，这一方面起到了巩固知识的作用，学生感受到了数学方法之间的内在联系，另一方面拓宽了学生的视野，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，从而激起学生热爱生活及学习数学的兴趣，进而感受到数学学习的价值。

在练习设计中，我们要求学生自主探索、充分合作、互相启发，让他们尝试解决生活中的相关问题。通过练习，不仅促进学生进一步领略了数学文化的特有魅力，更是培养了他们的思维能力、逻辑推理能力、转化能力、实践能力等。

参考文献：

[1]九年制义务教育《数学新课程标准》.

[2]斯苗儿，《“解决问题”教学的坚守与突围》《小学数学教育》.2008（7）.