基于学生探究能力的培养

胡健宾

在新课程改革的背景下，培养学生的探究能力，越来越受到人们的关注，探究是数学的生命线，而探究的前提则是需要提供开放的思维空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。

一、 数学设计的背景与思路

“向量是高中数学的重点内容，是近几年来高考的热点，一方面，向量性质的多样性及解题方法的灵活性，为学生多层次，多角度，多方位探索问题提供了开阔的思维空间；另一方面，向量具有双重性，有代数性和几何性，利用数形结合思想解决向量问题，可以强化向量的工具作用，用向量研究三角形的四心，则有意想不到的效果。

二、数学设计的过程与分析

基本素材：向量加减法几何意义，向量积，三角形的四心的有关概念：

三角形的四心，三角形的“四心”是三角形中位置“特殊”的点，△ABC的内心（三条内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点），其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形四心的性质，可以达到事半功倍的效果.

开放设计：

探索一：1.已知点P为所在平面内一点，且满足（），则直线AP必经过的（ ）

A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心

探索二：动点P满足则动点P的轨迹一定通过的（ ）

A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

探索三：设O为所在平面上一点，动点P满足，其中为的三个内角，则点 的轨迹一定通过的（）

A.外心 B.内心 C. 重心 D. 垂心

探索四：如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

我在课件里展示了四个探索。

教师：四个探索都很接近，式子的结构很类似，就是稍微变化一下，结果是否会变化很大呢？让我们同学们共同来探究，得出结论。

学生：好！

然后把班级分为8个小组，小组共同讨论，探究，共同分享各自的成果，顿时，班级的讨论场面非常激烈，探究的氛围非常浓厚。然后，我叫了2，4，6，8组的组长上来黑板展示他们组的研究成果。

学生1：

考虑到分母有余弦，我们肯定要想办法，把它约掉，可先乘以向量，根据数量积为零得出与垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论.

学生1展示：

解：，与垂直， ∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心，故选C.

教师：该题的考点是什么？主要体现什么的数学思想方法？

学生1：该题的考点是：向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程.该题主要以平面向量为载体通过平面向量的数量积运算结合向量的几何意义研究三角形的五心问题，主要是通过转化的方法解决有关几何关系问题.

班里响起了雷鸣般的掌声.

教师：这题主要是构造向量积，把复杂的问题简单化，体现了转化的数学思想.

学生2展示：

解：由正弦定理得：，所以，点P在BC边的中线上，即点P的轨迹过三角形的重心.故选A.

学生2：这题主要是利用向量的基本运算和正弦定理，考点是：1、向量的基本运算；2、正弦定理.

教师：非常棒！有没有需要补充说明的？

该组学生3：组长讲的很好，很到位，就是这个方法最快捷了。

这时候，第3组的组长站起来.

学生4：我们组还有一个解法，也是很快捷的，通过作BC边上的高，这时候，两个的分母都是变成了高，然后把高提出来，就可以观察到点P在BC边的中线上.此时，班级响起了雷鸣般的掌声。我补充说，两个组解说得很好，这个题有两种方法，关键是要把分母转化，然后，提公因数，体现了转化的数学思想.

班级响起了响亮的掌声。

学生5展示：

解：由原式可得，两边再与进行数量积运算，则，中，，所以所以P轨迹一定过外心.

学生5：这个推导过程很重要，并且常用到，请同学们记着，并灵活运用，这题的考点是：向量的数量积运算，三角形的外心.

教师：非常好！

同学们用热烈的掌声表示赞赏。

学生6展示：

解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，

∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，

又∵可得到﹣==λ（+）

∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，

∴一定通过△ABC的内心.故选B.

学生6：本题考查向量的加法和减法的平行四边形法则或三角形法则，向量的数量积，三角形的性质及平面几何知识.

教师：还有补充吗？

学生6：向量问题很多时候转化为最基本的代数式子，也就是我们常说的化归思想，请大家记住，形如+的和，是构成的菱形的对角线。

同学们用掌声表示鼓励。

教师：请同学们记得形如+的和的几何意义，还有，形如的几何意义是，平行四边形的两条对角线相等，也就是构成的平行四边形为矩形，我们利用向量的几何意义做题，会达到事半功倍的效果.

二、教学反思

1.巧设疑问，激发兴趣。通过本节课的教学实例来看，对向量与四心的探索，学生对向量的运用印象深刻，课堂气氛活跃，学生的学习兴趣也大大提高。根据教材习题特点和学情状况，巧设疑问，激发学生的探究兴趣，课堂交流学习成果的方法效果很好，讓学生通过观察，思考，分析，总结，实现知识的生成，打开并且深化学生的思维。

2.合作交流，激发思维。在自主探究时，学生分组讨论过程中，我参与小组讨论，对有能力的小组，在探究出一种方法后，可鼓励完成更多的方法探究，对于能力较弱的小组，可给予适当的提示，使学生都能动起来，课堂都有所收获，增强学生自信。通过在教师的指导下的学生的合作交流，师生问题交流，促成教与学的交互生成，从而培养了学生的思考力，交流合作精神，实现了学生能力的发展。