找出错因，以不变应万变解排列组合问题

张友连

新教材中增加了概率统计的内容，而排列组合是求解概率问题的基础，因此排列组合在高考中的地位越发显得重要。近年来出现了一些新背景题目，排列组合与集合、不等式、概率等知识结合在一起，例如2014年广东高考理科数学第8、11和17题（分值共23分），难度也有所增加，因此排列组合成为高考复习的重点内容之一。排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，切入点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以成为学生学习的难点。那么本文选择了一些经典题在教学过程中学生给出的错误解法进行剖析，以解师生之疑惑。

一、没有采取适当的分类、分步或分类、分步混淆不清

例1：从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有多少种？

误解： 6台原装计算机取2台和5台组装计算机取2台，11台中取走4台后还剩7台任取1台都能保证至少有原装与组装计算机各两台，所以是，若告诉学生出错，学生还百思不得其解，认为自己分析的天衣无缝，殊不知这样会导致出现重复如：给6台原装编号A、B、C、D、E、F，5台组装编号1、2、3、4、5，按照，若取到A、B， 取到1、2， 取到C，则取到编号为A、B、1、2、C。可是若取到A、C， 取到1、2， 取到B，事实上都是取到编号为A、B、1、2、C这5台，这样就重复计算了。

正解：对此应适当分类，完成这件事有2类方法，第一类办法原装计算机2台，组装计算机3台，分两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法。同理完成第二类办法原装计算机3台，组装计算机2台有种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有350种方法。

二、分不清排列还是组合

例2：方程x+y+z=10有多少组正整数解？

误解：问题转化（隔板法）将10个完全相同的球排成一列，在1号与2号、2号与3号、3号与4号 9号与10号之间形成9个空档中任意插入2块板，把球分成3堆，而3堆球的各堆球的数目即为 x、y、z的一组正整数解，例如在第1号球和第3号球后插2块板得到1、2、7一组解，而2、1、7又是一组解，此处体现顺序所以共有。错因：此处只是9个位置选2个位置插板，这两块板不用排列，A板在第1个球后B板在第3个球后和B板在第1个球后A板第3个球后是相同的。

正解： 例如在第1个球和第3个球后插2块板得到1、2、7一组解，在第2个球和第3个球后插2块板得到2、1、7又是一组解，9个间隙中任意插入2块板，这2块板没有顺序，所以共有=36种。

三、对特殊元素、特殊位置考虑不全面

例3：2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有多少种？

误解：小张和小赵只能从事翻译、导游，则翻译、导游安排有，剩下3人选2人安排礼仪、司机有，所以有。遗漏了小张和小赵其中一人没选中。

正解： 法一、从特殊元素去考虑小张和小赵其中一人没选中有，所以共有+=36

法二、从特殊位置去考虑。因为礼仪、司机不能选小张和小赵，所以从小李、小罗、小王3人中选2人有种方法，剩下3人任选2人安排翻译、导游，共有=36种。

四、插空时要注意已经排列好的元素或后来插入的元素能不能相邻，还要注意有些空档必须得插入元素

例：4：为纪念抗美援朝战争胜利六十周年，中央电视台在某沿海城市举办一场”红色经典”的革命歌曲文艺演出，已知节目单中共有七个节目，为了活跃气氛，主办方特地邀请了三位参加过抗美援朝的老战士演唱当年的革命歌曲，要将这三个不同的节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种？

误解：7 个节目有8个空档，選3个空档插这3个节目，这三个节目有顺序所以，漏了新增的3个节目可以相邻。

正解：法一、7 个节目有8个空档，选1个空档插1个节目后变成8个节目有9个空档，选1个空档插1个节目后变成9个节目有10个空档，同理得到=720。

法二、考虑用定序方法共有10个节目，原来的7个节目有 种顺序，要不改变原来的节目顺序，所以有=720种方法。

例5：某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌3个舞蹈3个曲艺节目，两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻，则排节目单的方法多少种？

误解1：先给3个曲艺节目排序， 3个节目有4个空档，2个唱歌节目捆绑与3个舞蹈插入4个空档，这样能确保两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻，错因：原来排列好的2个曲艺节目是可以相邻的，唱歌与舞蹈可以相邻。

误解2： 先给3个曲艺节目排序， 3个节目有4个空档，选3个空档插入3个舞蹈节目， 6个节目有7个空档，把2个唱歌节目捆绑， 选1个空档插入唱歌节目， 所以。错因：漏了2个曲艺节目之间只有捆绑在一起的2个唱歌节目的情况。

正解：2个唱歌捆绑与3个曲艺排序，4个节目有5个空档，选3个位置插3个舞蹈节目=2880种。

五、平均分组问题尤其要注意避免重复计数

例6： 甲、乙、丙3人值周，从周一到周六的6天中，每天安排一人值班，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则不同的排法共有多少种？

误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的2天给第三个人，这三个人再进行全排列，共有。

错误1：平均分组问题。比如：第一人挑选的是周一、二，第二人挑选的是周三、四，第三人挑选的是周五、六；也可能是第一个人挑选的是周三、四，第二人挑选的是周一、二，第三人挑选的是周五、六；所以再用全排列就重复计算了。错误2：正难则反，甲值周一有，乙值周六有，若减去2 ，甲值周一，乙值周六这种情况减了2次。

正解： 有=42种。

解排列组合问题需要我们把复杂问题分解，了解各种错误原因，做到不重复不遗漏，就能以不变应万变。