结构对爆破震动响应的动力分析

2018-08-11李秀

课程教育研究·学法教法研究 2018年13期

李秀

【摘要】本文在考虑爆破震动的基础之上，运用结构震动方面的最新理论，讨论了结构在爆破震动激励下的响应情况，并据此提出用数值求解系统频响函数（传递函数）的方法来求解结构在爆破震动激励下的响应。由于结构震动理论是以谐激励为基础的，而爆破震动并不是简单的谐激励，因而本文先介绍爆破震动的傅氏变换，以便于分解爆破震动中的谐成份，然后重点介绍了用模态理论求解结构对爆破震动响应的问题，提出了用频响函数（传递函数）来求解系统响应的方法。文中的结构响应模型能够适应于一部分结构抗爆破震动的情况，比如房屋建筑、烟囱水塔以及大坝等一系列地上结构。然而其实际可模拟性还需要检验。

【中图分类号】TU311.3 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）13-0288-03

前言

结构对爆破震动响应的实质是结构在爆破过程当中产生的冲击波的激励下发生的物理状态的变化。而一般震动问题是由激励（输入）、震动结构（系统）和响应（输出）三部分组成。

对于结构的响应问题来说，爆破震动速度一般可以用儀器测定，而所要监测的结构也是己知的。所以结构对爆破震动的响应问题属于己知激励和系统结构，求系统响应的一类震动问题。求解这一类问题就是根据已知的载荷条件和问题的实际情况对震动结构进行简化而得到可以求解的数学模型，然后通过一定的数学方法求解出震动结构上我们所关心的位移、应力、应变等。所以要得到结构对爆破震动的响应，除需要知道爆破震动激励之外，还需要知道结构本身的自振特性，如结构的自由度、结构刚度以及结构的自振频率和模态矢量等。

对于爆破震动激励，可以是质点震动速度、加速度、位移等，也可以是爆破激振力。在现阶段的情况下，我们得到的往往是爆破震动波在时间域上的波形，而不知道其频率成份，这就要求对震动波形进行变换以得到其频谱特性。

一、爆破震动激励

在通常情况下，我们所测定的或预测的爆破震动是震动质点的震动速度或加速度。而结构受爆破震动影响的主要因素是震动波的质点震动速度、频率以及作用时间等。质点震动速度和作用时间在实际当中比较容易得到，关键是爆破震动波的频率特性比较复杂，因为爆破地震波是一种含有多种频率成分的随机震动波。为了掌握地震波的频率、幅值、相位等参数，进而分析爆破地震波在介质中的传播和衰减情况，需要了解其各频率成分的幅值分布和能量分布情况。因此有必要对采用的震动波进行频谱分析，找出其频率成分及其相应的频域参数。

在一般求解结构响应的文献中，大多是假设结构受到简谐激励的，但是对于爆破震动激励F（t）而言，往往并不是简单的震动—谐和运动，而是有几种频率同时存在的周期性震动或非周期性震动，因此不能用一项正弦或余弦函数来描述他们的运动规律。但是我们可以用傅立叶谱来对之进行爆破震动分析，先对一般意义上的周期函数进行傅立叶变换，由级数知识可以知道，如果周期震动的时间函数为f（t），其周期为T，则函数f（t）的傅立叶级数展开式为：

（1）

式中ω为震动系统的圆频率。由上式可知用傅氏级数来表示一个周期函数，其关键在于求出傅氏系数A0、An、Bn。虽然爆破震动效应引起的质点运动过程是一个非常复杂的非周期运动过程，它的震动频率并不离散，而是由0到∞之间连续变化。因此就不能用上面的方法来得到爆破震动的频谱特性，但我们可以把震动波形分解成为非常小的小段来确定它们的震动参数，然后再用傅立叶积分的形式来表示。

化简后可得：

（2）

根据狄义赫利条件，函数f（t）的绝对值的积分存在，当t→∞时：，现在引用一个新变量，在区间（0→∞）上取等距离的值：

第n个谐和频率与相邻谐和频率之间的间隔为：

则式（4-2）可简化为：

上式用变量ω代替α，可以改写为：

（3）

而傅立叶系数A（ω）和B（ω）为：

（4）

可以将式（4-3）变为复数形式，根据傅立叶复数变换关系式，并由被积函数为奇函数则其在对称区间上的积分为零的条件，可得出：

将上式代入（4-3）式，即得到爆破震动激励的傅立叶积分的复数形式：

（5）

在上式中令，则有：

而函数F（ω）一般是复数形式，可表示为：

所以有：

将以上两式相互比较可得：

φ（ω）称为震动函数f（t）的傅立叶振幅谱，φ（ω）称为震动函数f（t）的傅立叶相位谱。在计算傅立叶谱的时候，由于系统的阻尼作用，系统的受迫震动过程的持续时间总是有限的，因此在计算傅立叶系数时，只需要在震动持续时间根据精度需要选定时段求积即可。由此就可以将爆破震动激励的频域特性用傅立叶谱的形式表现出来，在爆破震动波形当中，每一个频率成分ωi，其对应的震动强度为。在整个频率范围内其所占的成分D（ωi）为：

二、结构对爆破震动响应的模态计算方法

1.基本假设与理论

对于爆破震动过程，首先假定它是一个平稳随机过程，即由爆破产生的震动激励是有限的，这符合实际情况。对于震动系统来说，假定系统是定常稳定的，即线性不变系统。所谓线性是指描述系统震动的微分方程为线性方程，其响应对爆破震动激励具有叠加性；所谓定常是指震动系统的动态特性（比如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性；所谓稳定是指系统对有限的激励将产生一个有限的响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。

2.爆破随机震动激励下结构的频响函数

对于爆破震动来说，前面已经介绍过，那就是其震动波具有复杂的频率成分，并不是简单的简谐震动，而应将其视为一种随机震动形式。由于系统在随机激励下的响应也是随机的，而它们一般不满足傅氏变换的条件，所以不能直接用傅氏变换得到频响函数，因此计算在爆破震动激励下的频响函数，而只能采用谱密度函数来定义。

假设单自由度系统的随机激励f（t）和随机响应X（t）都是平稳随机过程，则其相关函数是时间延迟τ的与t无关的函数。

爆破震动激励f（t）的自相关函数定义为f（t）f（t+τ）的总体平均：

（6）

它是τ的实偶函数，，且在τ=0处有最大值。

激励f（t）与X（t）的互相关函数定义为的总体平均：

（7）

且，它是τ的实值函数。

相关函数从时域内描述了随机信号的特性，但在很多情况下使用描述随机信号频域特性的功率谱密度函数将更加方便。

（1）功率谱密度函数定义为相关函数的傅氏变换。自相关函数的傅氏变换称之为自功率谱密度函数，简称自功率谱或自谱，表达式为：

（8）

互相关函数的傅氏变换称为互功率谱密度函数，简称为互功率谱或互谱，表达式为：

（9）

（2）在理论上看来，一个随机样本函数X（t）定义在t∈（-∞～∞）上，所以X（t）不能绝对的可积，也就是说不能得到X（t）的傅氏变换。但是在实际当中，所有的样本函数都是有限长的，其延续时间不会达到无穷，而是在一定的范围以内。因此可以计算样本函数X（t）的有限傅氏变换：

（10）

这样在有限傅氏变换下，就可以讨论随机过程样本函数的傅氏谱，进而得到有限傅氏变换表示的功率谱密度函数。设平稳随机激励与随机样本函数f（t）、X（t）的有限傅氏变换分别为FT（ω）、XT（ω），则针对这一样本函数的自谱与互谱定义为：

（11）

通过对这两个随机过程样本函数的互谱和自谱的数学期望（统计平均），并令T→∞，可得到与式（4-8），（4-9）同样精确的功率谱密度函数：

（12）

由上式可知功率谱密度函数具有下列性质：

自谱为实偶函数，互谱为复函数。

（3）功率谱密度还可用帕赛瓦尔定理定义，帕赛瓦尔定理为：信号按时域计算的平均功率等于按频域计算的平均功率。平稳随机过程中一个样本函数x（t）的平均功率为：

（13）

此公式的意义为用Sxx（f，k）曲线与频率轴之间的面积表示信号的平均功率。单位频率上的平均功率即为功率谱密度函数Sxx（f，k），k代表样本号。

同理，样本函数x（t），f（t）的互功率谱由下式定义：

（14）

如果是各态历经过程，上述Sxx（f，k）、Sfx（f，k）就是随机过程的自谱与互谱。

如果是一般平稳随机过程，则尚需对式（4-13），（4-14）做集合平均：

这种定义方式适用于模拟滤波器求功率谱密度函数，它与另外两种方式不同。第一种定义给出了功率谱密度函数与相关函数的关系，二者可以通过傅氏变换互相求出，第二种定义是数值信号处理的重要基础，在应用中最为重要。

以上给出了功率谱密度函数的意义，下面就由功率谱密度函数来求频响函数。设多自由度震动系统在稳态随机激励f（t）作用下的稳态随机响应为x（t）均为平稳随机过程。对其样本函数作有限傅氏变换，分别记为FT（ω）、XT（ω），

则由频响函数定义有：

（15）

两端均右乘，取时间平均及集合平均，又由于H（ω）与平均无关，则有：

（16）

即为：

（17）

（18）

由此便得到谱密度函数下结构的频响函数。

自此就求得了震动系统在爆破震动下的频响函数，似乎就可以用来求结构的响应了，然而在实际工程当中，由傅氏变换来求解系统频响函数条件将高，因而人们采用了另一种变换方法一拉氏变换。

3.传递函数

在上面的计算当中，对震动激励与结构响应信号都是采用傅氏变换来进行的。而在实际工程运用当中，常用拉普拉斯變换来求系统的频响函数，因为震动激励和系统响应满足拉氏变换的条件比傅氏变换的要低得多，并且当t≥0时，在虚数轴（频率轴）上的拉氏变换就是傅氏变换，具有单自由度的粘性阻尼系统的震动微分方程：

（19）

如果初始条件为零，即对上述方程做拉氏变换，则有：

（20）

可写成：（21）

或者：（22）

式中：（23）

称为系统的传递函数。

（24）

称为系统阻抗。

如果s=jω，上述过程将完全是傅氏变换过程，得到的传递函数即为频响函数，即：

（25）

这就是传递函数与频响函数的关系。

如果初始条件不为零，式（3.5-2）将包含初始条件，即X（s）中包含初始条件引起的自由响应。但由于阻尼的存在，这一自由响应将很快消失，X（s）将只剩下稳态响应，所要求的传递函数或频响函数也是稳态响应下的传递函数或频响函数。故无论初始条件是否为零，传递函数或频响函数的形式都如式（24）、（25），所示。

4.爆破震动激励下结构的响应

由频响函数的定义可知，如果能求得系统的频响函数和系统所受到的震动激励，那么就可以据此来求得震动系统的响应情况了。用频响函数（传递函数）来计算结构对爆破地震动的响应可用以下的步骤：

1）预测结构所会受到的爆破震动激励大小，并对之作傅氏（拉氏）变换，得到震动的频谱特性；

2）将防震结构离散，用有限元的方法计算出结构的刚度、质量及阻尼矩阵，得到结构的频响函数（传递函数）；

3）用频响函数和震动激励得到整个结构的响应。

在爆破震动波可以经过傅氏变换找出其频率成份，对应于每一谐分量，其对应于结构的频响函数为，由前面的知识可得在其激励之下结构的响应为：

（26）

其中Xi为系统在频率为ωi的谐激励下t时刻的位移响应。则系统在t

时刻总的响应为：

（27）

对于传递函数来说，其计算方法大致相同。根据传递函数的定义，式（22）

给出了输入激励的拉氏变换、输出响应的拉氏变换与传递函数的关系。将式（22）展开得：