数形结合法在高等数学教学中的应用研究

朱丽娜

【摘要】数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。新课改对高等数学教学提出了更高要求，通过高等数学教学，不仅要传授学生基础知识，还要兼顾学生能力的培养。数形结合作为一项思维转换思想，能把复杂、抽象的问题简单化、具体化，能将抽象问题更为直观、简单地呈现出来，帮助学生分析、解决问题，提高学习效率，同时还可以开拓我们的解题思路。由此，加强对数形结合思想在高等数学中应用的研究具有现实意义。

【关键词】数形结合法 高数教学 应用研究

【中图分类号】O13-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0053-02

一、数形结合思想概述

数形结合思想主要是指数与形的结合，作为一种数学思想方法，数形结合主要分为两种情况，一种是利用数的精确性阐明形的某些属性，另一种是借助形的几何直观性表明数之间的关系。简而言之，就是“以数解形”和“以形助数”。巧妙地运用数形结合思想，能够引导学生在掌握基础知识的基础上，提高数学素养和敏锐性，使学生能够在“形中见数”，又能够“数中见形”，深化对知识本质的理解，从而培养数感。另外，数形结合思想能够实现数与形之间的转换，将各个要素之间关系更为直观、简单地呈现出来，为学生提供解决问题的思路。不仅如此，将数形结合思想运用到高等数学教学过程中，还能够将各知识点联系到一起，构建数学知识体系。

二、数形结合法在高等数学教学中的重要性

首先，帮助学生更好地理解抽象的问题。通过研究高等数学可以发现，几何问题与微积分起源都对高等数学的学习具有重要的指导意义。在高等数学学习中运用数形结合的方法，能够有效地把抽象问题通过形象直观的图形语言描述出来，从而使得学生在学习相关的概念及定理时，能够在图形的帮助下，寻找到相应的证明思路。

其次，提升学生对高等数学的学习兴趣。数形结合的核心理念就是把抽象的理论和图形结合起来，将抽象概念形象化处理，通过这样的方式提升学生的抽象思维能力，使学生能够更好的描述中掌握高等数学的基本知识，数形结合法学生可以把理论、概念性的知识实施简化处理，从而能够有效地提升学习效率。因此，在数形结合中，把”数”理念与”形”特点结合起来，通过两者间的相互促进和配合，为学生理解以及掌握高等数学提供新思路，增强学生学习高等数学的积极性，启发学生对问题的深入思考，也是提升学习兴趣的一个重要途径。

三、数形结合法在高等数学教学中的应用

1.深化概念本质，夯实基础知识

高等数学很多概念都是由抽象的数学语言构成，进行形式化的描述，由于过于抽象，不利于其理解和消化数学概念。因此，利用数形结合思想从概念背景入手，利用直观的几何图形引导学生观察、分析，逐渐由具象图形转变为抽象的概念，帮助学生理解和接受概念。“数形结合”有助于对数学知识的记忆，教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。例如：在进行“导数”概念教学过程中，可以从曲线的切线斜率着手，并借助变速直线运动的瞬间速度求法进行整理。通过这种方式不仅能够让学生了解知识发展过程，强化对概念的认识，还能培养学生概括思维，更好地解决生活中遇到的问题。

2.通过数形结合解释数学思维

應用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力，应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力。在数学里存在着大量的直觉思维，这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论，它具有顿悟、飞跃的特征。用数形结合的方法解题，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果，只需稍加计算或推导，就能得到确切的答案。教学中要注意用数形结合的方法训练直觉思维，让学生养成整体观察、检索信息、把握问题实质的好习惯。数形结合的教学方法要求教师在实践中能够更好地把教学思维融合进来，因此，教师在教学实践中需要把数形结合的方法用于解释数学思维，同时也重视对数学思维能力的培养，在解决问题时应用数形结合思想表达出来。

3.强化定理理解，培养学生创造力

定理作为高等数学教学的重难点，学生理解难度大，但是利用数形结合思想，能够将定理通过直观的几何图形呈现给学生，强化学生对定理的理解，提高学生对定理的运用能力。例如：在“微分中值定理”教学过程中，该定理包括内容较多，如罗尔定理、拉格朗日中值定理等，是学习高等数学定理的关键，由于定理相对集中，教师可以利用数形结合思想，呈现定理之间的关系，降低学生理解难度。从几何角度来看，定理之间属于切线平行于弦，而从解析角度来看，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，特定条件下，罗尔定理是另一种定理。由此可见，数形结合思想，能够引导学生参与到教学过程中，强化学生对定理的理解，并让学生感受到数学知识的魅力。

4.应用数形结合引导学生思考

在高等数学的学习中，教师采用数形结合的教学方法还可以引导学生对数学问题进行思考。最有效的方法就是引导学生自主的思考问题，使得学生在学习中能够发挥主观能动性，通过数形结合方法有效地提升学生探索问题的能力，最终达到解决问题的目的。因此，在高等数学的学习中，教师可以引导学生进行思考，培养学生勤于思考与乐于思考的良好习惯。例如有一个十分重要的极限公式，如果使用定义以及极限的运算法则来证明将十分复杂，此时可以换一个角度思考，运用夹逼准则（也称为夹挤定理或者两边夹定理），它作为极限存在判定的准则之一，运用此定理来判定此函数极限问题，通过数形结合来证明此问题就较为简单.在解答问题中，学生需要对这些问题进行多角度的思考，进而找到最为简单的解答途径。

5.丰富解题思路，提高解题效率

数学家华罗庚曾说过：“几何代数统一体，永远联系莫分离。”高等数学中部分数学问题，仅能够通过数和形解决，但是，过于麻烦且困难，如果能够发现问题各要素之间的联系，并运用代数和几何含义，丰富解决思路，最终快速解决问题。例题：设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图形如图1所示，则导函数y′=f′（x）图形为（ ）。通过图形能够看出，x小于0时，呈现递增趋势，相对应的图形应在x上方，反之，则呈现曲线，先增后降再增，使得f（x）也要随之变化，由此，选择最后一个答案。通过这种方式，不仅能够将数形结合思想渗透到学生思维中，还能够将知识有机结合。

四、数形结合在高等数学中的应用实例

利用数形结合可以增加高等数学解题的求简意识。数学知识来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，也是这样。通过数形结合可以提高对数学知识的认知能力，通过数形结合可以从直接体验数学知识，加强对概念、定义、定理的理解，更好的掌握数学知识的内涵和外延，提高对高等数学的自主学习能力。

1.利用数轴解决集合的相关问题

当两个集合的解是不等式时，要求其并集或者交集，可以用过数轴表示来把不等式的解集表示出来。

例1：已知集合A={X|-2 （1）若AB，求a的范围

（2）若BA，求a的范围

解：

（1）用数轴来表示集合A，根据题意得，集合B覆盖集合A，如图（1），则a≥2，且2a≥6，

得出a≥3。

（2）若集合A覆盖集合B，如图（2）所示，则-a≥-2，且6≥2a，且2a>-a，得出0 -a -2 6 2a -2 -a 2a 6

（1）（2）

通过上述例题充分利用了数轴，把抽象的数学问题反映到图形上，清晰的表达各集合之间的关系，从而得解答集合运算、求解参数值等一系列的问题。

2.运用数形结合思想解决函数问题

借助于图像研究函数的性质，是一种常用的方法，函数图像的集合特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。

例1：已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在（0，+∞）上单调递增，若f（1）=0，满足x·f（x）<0的范围是_____。

分析：函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f（x）的图像加以解决。

解：作出符合条件的一个函数图像，如图1。由图可知：x·f（x）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）。可见，对于较抽象的函数问题，只需按题设作出最简单的函数图像即可。

总之，数形结合法在高等数学教学中发挥着重要作用，教师通过数形结合的教学方法，能够更好地解析高等数学中比较抽象的概念，通过直观化的方式开拓学生的思路以及想象力，达到提高学生学习效率，进而提升学生分析问题和解决问题的能力的目的。

参考文献：

[1]牛海军.关于某些抽象函数原型问題的研究[J].河南教育学院学报.2014（01）.

[2]蔡俊娟.Mathematica在《高等数学》教学中的应用[J].长江大学学报，2012，20（5）.