在操作体验中理解概念

李兰瑛

【教学背景分析】

一、教材分析

“什么是面积”是北师大版三年级下册第四单元“面积”的起始课。本节课的内容是帮助学生初步建立面积的概念。

学生在此之前一直在研究一维空间的“线”，也就是长度概念，本节课是第一次认识二维空间的“面”，就是面积概念，后续还要研究有关面积的计算，以及应用面积的概念解决实际问题。从一维的长度到二维的面积是“由线到面”的一次质的飞跃。

教材结合四个具体实例，初步感知面积的含义。然后通过实践操作比较两个图形面积的大小及策略的多样性。学生初步感知在多种方法中用正方形进行测量和比较的优点，从而为后面学习面积单位做好铺垫。

比对了人教版、苏教版、北师大版等版本的数学教材，发现多数教材都是先认识面，再来理解面积。重视比较两个图形面积大小的实践操作，让学生体会比较面积大小策略的多样性，在度量的活动中帮助学生积累数学活动经验。在比较的策略上北师大版教材凸显了鼓励学生用多种策略去比较面积大小的理念。除了直观看以外，还分为直接比较——重叠，间接比较——无论是用圆片、小正方形还是画格子，目的是找到一个标准，用一个“单位”去量，从而理解度量的含义。

到底什么是面积呢？

我们知道，几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示。

面积概念本身来讲是包括形和数。

首先一定和面有关，任何物体都存在它固有的“面”，有平面、曲面，有的物体不只有一个面，露在外面的所有面的总和，也就是我们说的物体的表面。

面的大小就是面积。面是怎么产生的？用牛顿的运动观点看：“任何一种几何的量都可以认为是运动而产生。”点动成线，线动成面，面动成体。古希腊观点认为：要寻找制约万物的最微小元素。由于线动成面，面的大小与线的长度和线运动的距离有关。线的长度不断变化时，可以求出平均值，仍然看作线长×运动的距离。如果在第一次面对二维空间时，学生头脑中建立起了这样的运动观，平面图形面积的计算也就寻找到了最本质的思想方法。后续学习的“体”，就可以这样理解了。如果能够把面积、体积这些看似孤立的数学知识利用它们的共性串在一起，建立知识间的联系，从而形成整体，这样学生对数学概念的理解则会更加灵动、丰厚。

教材中对于面积是这样定义的：“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。”它们的大小需要通过测量得到。面积是一个测量的结果，它本身是一个量。

因此面积核心的意义应该是面的大小。它包含着一个面的大小的定量。

二、学习者分析

调研对象：北航实验学校小学部三年级（5）班。

调研情况：

1.你觉得什么是面积？（举例说明）

部分学生对面积有以下的认识：“一个图形的面。”“只有平面上有面积，不平的面就没有面积。如拳头、铅笔上就没有。”“实心的有面积，空心就没有”“侧面就没有面积了，如桌子就只有桌面上有面积，侧面就没有。”可以看出，学生看到的都是物体上的面，但是对于物体表面的认识，对于物体表面的大小关注不多。

2. 你能把下面图形的面积表示出来吗？

3. 下面哪个图形比较大？你有几种比较的方法？写出比较的过程。

调研结果分析：

1.学生对于面积的认识是一个渐进的过程，一个不断完善与丰富的过程。三年级学生处于具体到抽象的过渡时期，对于面积的理解还处于模糊、片面的阶段。

2.学生已经具有了丰富的对于面的大小的直观感知。对于面积相差较大的图形，比如桌面与黑板面，学生能直接判断它们的大小。对于面积相近的图形，学生会采用重叠、画小正方形等方法来比较图形的大小。

3.学生已經建立了周长的概念，周长对于学生认识面积具有负迁移。在一个平面图形中，“边”属于强刺激源，“面”属于弱刺激源，加之长度的学习在先，学生在学习面积时，在潜意识中会受到周长的影响，会觉得周长长的图形面积似乎更大些。

【教学目标】

1.结合具体实例和观察、操作体验，理解面积的意义。

2.引导学生经历比较两个图形面积大小的过程，体验比较策略的多样性，丰富度量面积的经验，发展学生的空间观念。

【教学过程】

一、在操作体验中，感知面积的意义

（一）在“涂面”“刷面”的活动中，体会封闭图形的大小

活动一：涂一涂

师：同学们，喜欢画画吗？老师这里有几幅画，想看看吗？请你仔细观察，这些画是怎么画的？（动态演示一笔画图形的形成过程）

生：由一个点出发又回到这个点，一笔画成的。

师（追问）：首尾相接一笔画成的图形是什么图形？（封闭图形）

师：你们想画一个吗？拿出彩笔在白纸上画一个，并给它涂满颜色，开始吧！（学生画完后贴到黑板上）

师：一起看看黑板上的这些图形，任选两个比一比，谁的面比较大？谁的面比较小？

师：看来，同学们通过直接观察就能比较出谁大、谁小。（板书：观察）

活动二：刷一刷

师：大家看，他们在干什么？

师：仔细观察，怎么刷？（动态呈现刷墙的过程）

师：老师也想试一试，注意看，如果沿着一个方向，刷一下，就能形成一个面。看近似像什么图形？为了看得更清楚，我把边线描重些，大家看我从这点出发，最后又回到这个点。（师边说边操作）

师：刚才老师是沿着这个方向刷的，还能怎么刷？（横刷、斜刷、转圈刷……）想体验一下吗？一会大家就利用粉笔在小黑板上刷出一个面来。要求只刷一下，描出边线，刷得不清楚也没关系，不要来回涂抹。能做到吗？开始吧！（师巡视，让学生将完成的图形贴到黑板上）

师：一起看黑板，有近似的长方形、有近似的圆形……比较一下这些图形的面，谁大？谁小？

师（手指着一个长方形）：如果还是刷一下，要想刷出一个比这个长方形更大的长方形，想象一下，可以怎么刷？

师：刚才我们经历了涂面、刷面的活动，现在你体会到什么是面积了吗？ （师板书：封闭图形的大小）

（二）在“摸面”的活动中，感受物体表面的大小

师：伸出手掌来，摸摸手掌面的大小。和同桌比一比，谁的手掌面积大？老师和你们比呢？ 摸摸桌面，用手掌去量量桌面，有几个手掌面大？

师：这是大家熟悉的粉笔盒，它的表面有多大？谁来摸一摸？

师：大家看，这是什么？（出示橘子）橘子的表面有多大呢？摸一摸，感受一下。

师（追问）：到底多大呀？怎么能看得清楚？（剥开2个橘子，一大一小）想象一下剥开的橘子皮会有多大。我们把两个橘子表面的面积摞在一起比一比，谁大？谁小？

师：看来无论物体的表面是平的、曲的，还是由多个面组成的，它们都有自己的大小。通过刚才的活动，你感受到什么是面积？谁能说说？

生：物体表面的大小，就是这个物体的面积。（师板书：物体表面）

二、在比较中，进一步体会面积的意义

师：在刚才的活动中，我发现无论是比较封闭图形的大小，还是比较物体表面的大小，同学们通过直接观察一眼就看出来了，既然大家的眼力这么好，请你判断一下这两个图形的面积谁大？谁小？谁愿意说说？（师边说边演示课件，学生争议）

师：到底谁说得对呢？看来直接观察确实不好比较，老师想了个办法。注意看（动态演示）用割补的办法，转化成近似的正方形和长方形。

师：现在能看出来了吗？谁的面积大？（学生继续争议）

师：还是看不出来？这样吧！老师给大家准备了一些材料，四人一组，先商量一下比较的办法，再开始操作。

师：谁来说说，你们比较的方法？

（1）小组汇报——直接比较

生：剪拼法。（板书：重叠）

（2）小组汇报——间接比较

生：自选单位测量面积（小正方形、扣子、方格纸）

师：现在你对面积有什么新的体会？用这些小的面量大的面，面积的大小可以测量出来。（板书：测量）

生：只要有统一的标准就可以比较面积的大小。

师：刚才大家通过测量比较出湖南的面积比湖北大。事实确实如此，湖南省面积为21.18万平方千米，湖北省面积为18.59万平方千米。

三、在归纳梳理中，概括面积的概念

师：今天我们通过一系列的活动体会了面积的意义，现在谁能说说你对面积的理解，什么是面积？ （完善板书）

四、在辨析中，深化面积的意义

师（播放电影片段）：这个电影片段再现了200多年前美国的一段历史，反映了当时的农场主划分土地的事。在规定时间里，骑马出去跑一圈，马跑过的地方就钉上木桩插上旗子做上标记。这样圈出来的土地就归他们自己所有了。感受一下跑马圈地的场景。

师：请看这几块土地，都是马跑了3千米圈出来的，你要是农场主，选哪块？为什么？

生：甲土地，因为它的面积大。

师：看来都跑了3千米，圈出的面积却有大有小。

师：有一匹马，它在规定时间里跑了5千米。跑得更远了，圈出的土地会不会更大？为什么？怎样圈更大？感兴趣的同学下课后可以继续思考。

五、全课总结

今天這节课有什么收获？还有困惑的问题吗？

【课后反思】

如何在认识面积时能够把握概念的本质，对面积有一个清晰的、完整的认识呢？本节课通过设计有效的数学活动，激发学生的学习动机，逐步让学生对面积的理解，从模糊变得清晰，从片面变得完善，从错误变得正确，从零散变得结构化。通过学生亲力亲为的活动体验，力求给学生充分感知、操作、体验、思考的机会，使学生丰富对面积的感性认识，让活动成为发展学生空间观念的载体，让学生在实践活动中生成丰富的表象，从而建立起面积的概念，发展学生的空间观念。

我们看到生活中很多熟悉的物体表面或封闭图形的大小都是静态的面积，但是它的大小是怎么形成的，就要更深刻地去认识。这些面是怎么形成的？归根结底是牛顿的发现——“线动成面”。

本节课设计的核心活动就是让学生用粉笔横刷、竖刷、斜刷、转圈刷，形成学生熟悉的平面图形。让学生体会到熟悉的平面图形都可以由一条线的移动形成面。一条线沿着一定的方向连续的运动，运动形成的轨迹，才形成面。线长则面大，移动的距离长则面大，这就是动态的面积。而且面的大小不再是在一个方向上的变化，而是可长可广的。这就是我们说的学生的认识从一维延伸到二维。这在学生看来是用运动的观点重新认识长方形、正方形、平行四边形、圆甚至是边运动长度也变化的三角形。这些都与后续的图形学习接轨。这些由静而动的体验、观察、思考，使面积的含义深深地烙在了学生的头脑中。

因此，在教学中要给学生充分的时间去感知“面”，发展学生对面的感觉；要帮助学生体会面是有大小之分的，发展学生的量感。要让学生感悟到面的形成过程是“线动成面”。

遵循学生的认知规律，由浅入深地和学生共同经历“操作感知—形成表象—建立概念”的过程，通过层层递进的体验和反思活动，帮助学生逐步丰富和建构对“面积”本质意义的理解。

（北航实验学校小学部 100191）