殊途同归——直线与圆位置关系的一题多解

范玉霞

（甘肃省兰州市第四中学，甘肃 兰州）

一、题目展现

题目：过圆C：x2+（y-2）2=4 外一点A（2，-2）引圆的两条切线，切点为E、F，求直线EF的方程.

二、思维辨析

发散思维是只从一个目标出发，运用已有的知识、经验，沿着各种不同的途径去思考，探求多种答案，从而获得大量新信息的思维.

思维基点1——从直线方程出发

解法1 两条切线AE、AF，其中一条AE的方程是x=2，则另一条切线的斜率一定存在，故设切线AF方程为：y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，圆心C（0，2），则，解得，切线AF的方程为

3x+4y+2=0，F点的坐标解点

故直线EF的方程为，化简得：x-2y+2=0.

思维基点2——从相关点的坐标出发

解法 2 设切点F的坐标是F（x1，y1），因为CF⊥AF，且kCF=所以，解得所以，EF的方程即x-2y+2=0.

思维基点3——从圆的几何性质出发

解法3 利用过圆外一点做圆的切线的方法，EF视为AC为直径的圆与已知圆相交而得到的，的中点坐标（1，0），故以AC为直径的圆的方程为（x-1）2+y2=20，EF的方程为，即x-2y+2=0.

思维基点4——从圆的切线方程出发

过一点M（x0，y0）作圆（x-a）2+（y-b）2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）的切线方程为（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2或x0x+

解法 4 设切点E（x1，y1），F（x2，y2），切线AE的方程为x1x+（y1-2）（y-2）=4，切线AF的方程为x2x+（y2-2）（y-2）=4，点A（2，-2）在切线AE、AF上，所以 2x1-4（y1-2）=4，2x2-4（y2-4）=4，即E（x1，y1），F（x2，y2）的坐标均满足方程 2x-4（y-2）=4，所以EF的方程为x-2y+2=0.

思维基点5——从向量间关系出发

验证E（2，2）也满足方程x-2y+2=0，故x-2y+2=0为所求.

三、点滴体会

学生学习解析几何相关内容时，突出的一个难点是不能恰当地将“形”的问题转化为“数”的问题，把“数”的问题回归到“形”的问题中去，而这两者间的相互转化是解析几何的根本。解析几何的主要思想是用代数方程依据平面直角坐标系研究几何问题，将几何图形与代数方程建立联系，通过研究图形的代数方程得到代数结果，再从代数结果到几何图形的方法就是解析几何的精髓。本例通过多方法、多角度、多途径、多方式解决问题的解法，目的就是激发学生学习的热情，增强学生对解析几何思想的理解提高学生处理问题的能力，感受解析几何的魅力，使学生明白开启脑洞会有意想不到的惊喜.