数学理解：课堂教学的价值追求

一、缘起：由一道题目引发的思考

某次五年级数学期末调研中有这样一道题目：

在给定的正方形点子图上，找一点D（D在格点上），使四边形ABCD是一个梯形。那么符合条件的D点的位置有（ ）个。

调研结果显示，该题正确率仅为21.6%。高错误率情况的出现引发教师的热议。追根溯源，学生平时练习的都是根据底和高求梯形面积的题目，长期的题型模仿、类型强化、技能操练僵化了学生的思维。面对陌生的问题情境，许多学生根本想不到根据梯形特征（只有一组对边平行）分类枚举加以解决。

审视传统的课堂，教学内容的浅表化、学生思维的惰性化、知识结构的碎片化等现象大量存在，使学生所掌握的知识是固化的、不能迁移与缺乏弹性的，导致不能灵活地应用所学知识解决真实问题。通过“改课”推进“课改”，确立学生的主体地位，使教学真正成为支撑学生数学理解不断发展的支点，成了数学课堂教学的必然选择。

二、追问：数学理解之内涵意蕴

数学理解的目标指向具有双重内涵：一是“对数学对象的理解”，理解数学的知识内容、方法技巧、思想策略等；二是“从数学的角度去理解现实”，这是一种学生内心深处更深层次的数学观念的转变与形成。它培养学生“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界”。数学理解性学习是一个具有目标指向，不断建构复杂心理联系且具有灵活迁移性的学习过程。它以数学知识的结构化、网络化和丰富联系为本质，以生成性和发展性为特征，以重新组织为形成机制，以自主活动为形成条件。

理解性学习的层级特征显示，理解的生成并非一蹴而就，而是一种不断发展的层级跃迁过程。最低层级为经验性理解，随着学生对自身经验性知识中的各种刺激进行整理、组织、概括与重新表征，而通达深刻的本质化认识时，此时学生的理解就达到了原理性理解的层级。理解性学习的最高层级是文化性理解，这是指对知识背后所赖以依存的人类文化的深度领悟。在《追求理解的教学设计》一书中，格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰格提出了数学理解的六维度理论。他认为，真正的理解可概括为以下六个方面：科学性解释、个体性诠释、具有洞察力、情境性应用、自我反思、移情性体验。多维度分析启迪我们，真正的理解是通过多个侧面表现出来的。我们根据这个理论建构了数学理解性学习的层级发展过程模型，见图1。

图1 数学理解性学习的层级发展过程模型

三、笃行：数学理解之实践策略

教学是一个系统工程，建设数学理解性学习的课堂，需要教师从课堂教学的各要素入手，进行教学变革和改造。

1.目标——聚焦“本质”。

理解即思考。数学课堂教学要促进学生思考力的发展。课标把“数学思考”列为义务教育数学课程四大目标之一。让学生学会思考，特别是学会独立思考，是培养学生创新能力的核心，而学会思考的重要方面是学会数学抽象，学会逻辑推理，学会数学建模。

（1）架构思考时空。个性化的学习思考需要有充分的时间和机会。若不提供给学生思考的时间和机会，那就是鼓励迅速的但却是仓促且浅薄的习惯，深度的理解不可能发生。为此，在教什么的问题上要追求“更少”，聚焦数学核心知识和关键环节，整合小步子的教学，设计有空间的大问题，让学生进行更深入的探究，避免在非核心知识处徘徊。“更少”须由“更高”保证。教学要关注知识的内涵本质、数学思想方法和数学学科的核心素养，激发思考的动力，学习思考的策略，提升思考的能力。

（2）培养质疑精神。反思我们的课堂，教材内容的绝对性和封闭性，教学方法的机械性和被动性，师生关系的“权威-依存”性，导致学生的问题意识、质疑精神的缺失。要促进学生思考，必须提倡对话、互动的教学方法，营造开放、民主、自由、活泼的课堂气氛，增加课程内容的不确定性和生成性，重建学生的质疑精神和批判性思维的能力。

2.内容——凸显“联系”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学要让学生“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”。建立联系的目的是从不同角度审视知识，赋予知识以现实背景，使得知识节点具有“繁殖力”，最终产生一种关联性的、内聚的知识整合力量。

（1）纵向知识的长程设计。所谓纵向知识结构关联，就是将不同年级知识纵向联系起来，进行长程的整体设计。例如，低年级的长度概念、长度度量单位的教学，中年级的面积概念、面积度量单位的教学，以及高年级的体积概念、体积度量单位的教学，这些知识属于一类课，体现的是线、面、体三维空间概念和度量单位，可以进行关联思考和整体设计。教学设计时要思考前面的课蕴伏的经验方法，今天的课如何很好地迁移，又应该为后面的课做哪些方面的准备与渗透。这样螺旋上升的递进设计，能起到以少胜多的效果，更好地促进学生的理解。

（2）横向知识的比较对照。所谓横向知识的结构关联，就是围绕某一知识点用系统、整体的眼光，联结已有概念，联结几何直观，联结生活实践，联结其他学科所进行的整体设计，它能促进数学理解的深度、广度、宽度和厚度的发展。如苏教版四下《三角形的认识》一课，认识三角形的高，可联系学生量“身高”的生活经验，先引出三角形水平方向的高，在此基础上，旋转三角形，最终抽象出三角形高的概念。画三角形的高，可联系学生画点到直线的垂线段的知识。三角形稳定性的教学，可与四边形易变形的特点进行比较。让学生用三根固定的小棒围三角形，发现大小形状唯一，让学生用四根小棒围四边形，大小形状不唯一，在比较对照中，实现对知识的深度理解。

3.情境——关注“儿童”。

情境是知识的载体。最有效的学习途径是通过最直接、最真实的经历引发其对知识的渴求。促进数学理解的情境要贴近学生的已有经验，瞄准学生的认知需求，体现知识的生长。

（1）制造认知冲突。哈佛大学一项追踪数十年的案例研究表明，影响成功的最重要的因素不是认知能力的高低，而是强烈的好奇心和持续不断的努力。学生在学习的过程中有许多真实的问题（包括数学迷思与误解、学习困难与疑问等），教学的推进，应减少教师的“铺路搭桥”。要抓住学生认知的困惑点、疑难处，敢于放大，有意曲折，制造认知冲突，让学生经历“引出、挑战、转换”一系列过程，让学生见识科学概念更具解释力和有效性，从内心真正接受并理解。

（2）促进个性化表达。一方面教师要创设开放的问题情境，为学生主动探究、深入思考，展现个性思维、发挥创造力提供舞台。在教学苏教版四下《确定位置》一课时，教师让学生担任小船长打海盗船，在“怎样确定海盗船的位置？”这一大问题情境的引领下，学生自主探究，通过画一画、量一量、写一写的方式进行个性化表达：仅画出一条线来确定位置，利用缩小范围的方法，利用点与边线的距离找交点，构建“方格图”，利用方向角度和距离确定位置等。在全班学生的交流分享、智慧碰撞中，学生感悟到平面上点的位置用二维量化有序表达的必要性。

另一方面，课堂的常用语和常用教学行为要促进学生的思考。教师要非常清晰地对学生表明，在课堂上，学习就是要你勇敢地、自信地表明自己的不懂，主动地提出问题。可以追问：“这样说我还不太懂，你可以再说一遍吗？”可以探问：“我还有一个问题……”可以质疑：“答案真的是这样吗？”通过可视化、讨论、样例、激励、评价等方式，鼓励学生提出问题，建立联系，进行个性化表达。

4.方式——讲究“多元”。

儿童的学习是他们全身心地投入探索情境，在个性化的问题解决过程中广泛联系各种资源，形成自身独特认知的一种“身体、认知、情感、元认知”的整合实践。数学理解性学习的课堂学习方式讲究“多元”，认真听讲、动手实践、合作交流、自主探究……要重建教学关系，课堂教学要在师生之间，生生之间建立互动关系。问题可以来自学生，知识学生自主整理，交流可以学生自行组织……

当然，学习也不仅仅发生在课堂。教材早已不是学生的整个世界，整个世界都可以成为学生的教材。教师要具备课程意识，超越课堂的精雕细刻，拓展教育的边界。以课程超越课堂，意味着教育价值的重塑。从关注知识与技能目标的达成，转向关注学生的数学素养，关注学生的生命体验。让数学步道、数学游戏课程、数学实验课程、数学绘本课程等拓展型课程，进一步丰富学生的数学学习，促进学生数学理解的生长。

从理念到行动，从素养到课堂，我们还有很长的路要走。重学业成绩的短期功效与综合素养长期发展的矛盾依然存在。现行的学业成绩的评价方式依然制约着课堂改革的发展。课堂是每一位教师的领地，是自然的教学实验室。想让学生成为什么样的人？想给学生一种怎样的学习经历？与每一位教师息息相关。建设数学理解性学习的课堂，教师首先要理解数学、理解学生、理解教学。多一些哲学思辨，关注自己的教学直觉，有意识地进行教学实践，同时不断丰厚自己的专业素养，提升自己的教学品质，在为理解而设计的道路上不断前行！