一类具有两种功能性反应的三种群时滞食物链模型

李 会

安徽财经大学管理科学与工程学院，蚌埠，233030

1 相关研究与问题提出

食饵种群和捕食者种群之间的关系，是生物动力学以及应用数学领域中的一个非常重要的研究课题。尤其是描述多种群之间动力学行为的多种群捕食系统模型，近年来受到国内外学者的广泛关注，如食物链[1-3]、竞争模型[4]、互惠模型[5]以及具有阶段结构的捕食系统模型[6-8]等。最近，Agrawal等[9]提出了下列具有时滞的食物链模型：

(1)

其中，x(t)，y(t)和z(t)分别表示食饵种群、中层捕食者种群和顶层捕食者种群在时刻t的数量。a1，K，j，a，ε，a2，ε1，ε2，β，γ，ε3，c和D为模型(1)的参数，它们均为正常数。a1为食饵种群的内禀增长率，K为食饵种群的环境容纳量，j为中层捕食者种群对食饵种群的忍耐程度，a2为中层捕食者种群的死亡率，ε1/ε表示食饵种群和中层捕食者种群之间的作用系数，a为半饱和常数，ε2为顶层捕食者种群对中层捕食者种群的捕食系数，β表示顶层捕食者种群之间的干扰程度，γ为环境对中层捕食者种群提供的保护程度，ε3表示顶层捕食者种群的最大去除率，c表示顶层捕食者种群由于有性繁殖导致的增长率，D表示由于食物的短缺所造成的顶层捕食者种群的损失情况。τ表示中层捕食者种群的妊娠时滞。Agrawal等[9]研究了妊娠时滞τ对模型(1)的影响。

受文献[9]启发，并考虑到食饵种群的消极负反馈时滞，本文考虑模型(1)的另外一种时滞形式：

(2)

其中，τ为食饵种群的消极负反馈时滞。

2 Hopf分岔存在性

x*是下列方程的正根。

(3)

模型(2)在正平衡点E*(x*,y*,z*)处的特征方程为：

λ3+U2λ2+U1λ+U0+(V2λ2+V1λ+V0)e-λτ=0

(4)

其中，

U0=a11a23a32,U1=a11a22-a12a21+a23a32

U2=-(a11+a22)

V0=a23a32b11,V1=a22b11,V2=-b11

因此，如果条件(H1)成立，即：U2+V2>0,(U2+V2)(U1+V1)>U0+V0成立，则正平衡点E*(x*,y*,z*)是局部渐近稳定的。

当τ>0时，令λ=iω(ω>0) 为方程(4)的根，则

(5)

因此，根据方程(4)可以得到：

(6)

为了得到本文主要结果，给出如下假设：

(H2) 方程(6)至少存在一个正实根。

如果条件(H2)成立，则方程(6)存在一个正实根ω0>0，使得方程(4)存在一对纯虚根±iω0。对于ω0,根据方程(5)，有

对方程(4)左右两端同时求λ关于τ的导数，得到：

因此，

定理1假设条件 (H1)-(H3)成立。当τ∈[0,τ0)时,正平衡点E*(x*,y*,z*)局部渐近稳定；当τ=τ0时，模型(2)在正平衡点E*(x*,y*,z*)处产生Hopf分支。

3 仿真示例

选取文献[9]中相同的一组参数：a1=1,K=25,ε=0.75,a=60,j=16,a2=0.05,ε1=0.6,ε2=0.2,γ=50,β=0.21,c=0.01,ε3=0.5,D=1。则模型(2)变为：

(7)

利用Matlab软件，经过直接计算可以得到系统(7)的唯一正平衡点E*(14.700 8,49,25.500 3)。进而，计算得到ω0=0.321 9，τ0=1.875 8。因此，根据定理1可知，当τ<τ0时，唯一正平衡点E*(14.700 8,49,25.500 3)是局部渐近稳定的，仿真效果如图1所示。当τ>τ0，则唯一正平衡点E*(14.700 8,49,25.500 3)失去稳定，并产生Hopf分支，在E*(14.700 8,49,25.500 3)附件产生一簇分岔周期解。仿真效果如图2所示。

图1 当τ=1.75<τ0时，E*(14.700 8,49,25.500 3)渐近稳定

图2 当τ=2.15>τ0时，E*(14.700 8,49,25.500 3)失去稳定

4 结 语

本文在文献[9]研究的三种群食物链模型的基础上，进一步考虑了食饵种群的消极负反馈时滞，提出了一种具有消极负反馈时滞的三种群食物链模型。主要研究了食饵种群的消极负反馈时滞对模型稳定性的影响。以时滞为分岔参数，得到模型局部渐近稳定和产生Hopf分岔的充分条件。研究表明，当食饵种群的消极负反馈时滞足够，模型处于理想的渐近稳定状态，模型中的三个种群数量趋于正平衡点位置。当食饵种群的消极负反馈时滞的取值超越临界点τ0时，模型将失去稳定性，在正平衡点处产生Hopf分支。此时，模型(2)中三种群的数量将以一种周期震荡形式共存。本文所得结果是对文献[9]的补充。综合考虑来看，不仅模型(2)中中层捕食者种群的妊娠时滞对其稳定性有一定的影响，食饵种群的消极负反馈也会影响其稳定性。但是，本文只是研究了模型局部渐近稳定性和Hopf分岔的存在性,并没有对模型在时滞临界点处所产生的Hopf分岔的性质进行研究。这一点留作后续研究工作完成。