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双根号函数值域求法初探

2018-08-08余永成

新课程(中学) 2018年5期
关键词:换元对偶元法

余永成

(重庆市垫江第三中学校,重庆)

函数思想是高中四大数学思想之一,函数的教学贯穿着整个高中数学,其中求函数的值域既是重点,也是难点,而对于这种类型的函数因为它有两个根号,且这类函数的值域求法比较灵活,涉及的知识点比较多,知识的跨度大,几乎涵盖了高中三个年级的知识,所以很多学生感到无从下手,甚至望而止步。

一、求导函数法

x 4 (4,17 4) 174(174,5) 5 y 3■↗2↘1

由其单调性可知,其值域为[1,2]。

二、换元法

换元的目的是为了简化运算,换元时应注意新元的取值范围。

1.普通换元,转化成椭圆方程,然后用线性规划求解

2.普通换元,转化成椭圆方程,然后用椭圆的参数方程求值域

3.普通换元,转化成圆的方程,然后用线性规划求解

4.普通换元,转化成圆的方程,然后用圆的参数方程求值域

5.三角换元,然后用辅助角公式求值域

用换元法求解此题的值域,换元方式比较灵活,且涉及椭圆方程、椭圆的参数方程、圆的方程、圆的参数方程、线性规划、辅助角公式等众多的知识点,知识的跨度也较大,对于拓宽学生的视野、发散学生的思维有很好的作用.

三、向量法

作为一种工具平面向量不仅在平面几何、立体几何中、解析几何中有着广泛的应用,而且在代数运算中也有一定的应用。此题可以用向量的数量积求解。

四、构造对偶式

又因为y2+k2=4,所以k2=4-y2

由※得 0≤4-y2≤3 从而得 1≤y2≤4,又因为 y≥0,所以 y∈[1,2].

构造对偶式,属于数学技巧,更多地依赖解题者的数学经验的积累,此处构造对偶式时,不仅要求两个根式的系数要轮换,而且还要求由和式变成差式,技巧性较强,但见多就会识广,以后遇到此类题就会信手拈来。

此例中,求导函数的方法是万能的方法,而换元法和向量法实际体现了高中数学的另一种重要的思想——等价转化思想,而除了求导方法以外,其他方法都要求学生对基础知识有牢固的掌握,有较强的基本功且能融会贯通的运用,这一个例题将导数、椭圆、圆、线性规划、参数方程、向量、动点轨迹等知识点进行了有机结合,适合高三第二轮复习使用。

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