双根号函数值域求法初探

余永成

（重庆市垫江第三中学校，重庆）

函数思想是高中四大数学思想之一，函数的教学贯穿着整个高中数学，其中求函数的值域既是重点，也是难点，而对于这种类型的函数因为它有两个根号，且这类函数的值域求法比较灵活，涉及的知识点比较多，知识的跨度大，几乎涵盖了高中三个年级的知识，所以很多学生感到无从下手，甚至望而止步。

一、求导函数法

x 4 （4，17 4） 174（174，5） 5 y 3■↗2↘1

由其单调性可知，其值域为［1，2］。

二、换元法

换元的目的是为了简化运算，换元时应注意新元的取值范围。

1.普通换元，转化成椭圆方程，然后用线性规划求解

2.普通换元，转化成椭圆方程，然后用椭圆的参数方程求值域

3.普通换元，转化成圆的方程，然后用线性规划求解

4.普通换元，转化成圆的方程，然后用圆的参数方程求值域

5.三角换元，然后用辅助角公式求值域

用换元法求解此题的值域，换元方式比较灵活，且涉及椭圆方程、椭圆的参数方程、圆的方程、圆的参数方程、线性规划、辅助角公式等众多的知识点，知识的跨度也较大，对于拓宽学生的视野、发散学生的思维有很好的作用.

三、向量法

作为一种工具平面向量不仅在平面几何、立体几何中、解析几何中有着广泛的应用，而且在代数运算中也有一定的应用。此题可以用向量的数量积求解。

四、构造对偶式

又因为y2+k2=4，所以k2=4-y2

由※得 0≤4-y2≤3 从而得 1≤y2≤4，又因为 y≥0，所以 y∈［1，2］.

构造对偶式，属于数学技巧，更多地依赖解题者的数学经验的积累，此处构造对偶式时，不仅要求两个根式的系数要轮换，而且还要求由和式变成差式，技巧性较强，但见多就会识广，以后遇到此类题就会信手拈来。

此例中，求导函数的方法是万能的方法，而换元法和向量法实际体现了高中数学的另一种重要的思想——等价转化思想，而除了求导方法以外，其他方法都要求学生对基础知识有牢固的掌握，有较强的基本功且能融会贯通的运用，这一个例题将导数、椭圆、圆、线性规划、参数方程、向量、动点轨迹等知识点进行了有机结合，适合高三第二轮复习使用。