基于能量角度的植物工厂优化控制

杨泽文，贾鹤鸣，宋文龙，朱传旭，吕 帅

(1.东北林业大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨 150040； 2.哈尔滨工程大学自动化学院，黑龙江哈尔滨 150000)

植物工厂是一种可以使作物高效产出的现代化新型农业系统，通过机械设备对其内部的环境进行控制，以达到农作物的最适生长条件[1-5]。植物工厂可以节约利用现有土地，保证农作物品质，节省劳动力，是目前解决资源匮乏的重要工具。其应用场景广泛，可以建设在土壤贫瘠的地带、楼宇之间、航天设备之中等[6-10]。

当前是我国农业发展最快的时期，一些高等学府、研究院以及与农业相关的企业、公司进行了大量的科学试验，作了深入的学术研究，并取得了突破性进步。但对于植物工厂方面的研究，我国起步相对较晚[11-13]。针对植物工厂环境数学动态模型的建立，目前很少有基于能量角度来建立各个物理量平衡关系的研究。过去几十年，关于植物工厂环境控制方面的研究成果大量涌现，各种控制策略和控制技术被应用，如比例、积分、微分(proportion-integral-derivative，简称PID)控制、模糊控制、神经网络控制等[14-19]。但关于温室控制系统的研究多集中在对各种环境因子的控制方面，并没有考虑对植物工厂运行费用的控制。

本研究深入探讨植物工厂环境的容量变量与强度变量，并基于能量角度抽象出闭环控制系统中的各个通量，建立其平衡关系。利用最优控制相关理论，建立数学动态模型。植物工厂的建设与运行必须考虑各种环境因子的优化整合，优选成本低、效果好的控制过程，以使控制成本达到最优。采用最优控制中的非线性规划(nonlinear programming，简称NLP)方法，针对植物工厂运行费用与作物收益的关系，设计能使成本最优(用最少的投入在最短的时间内获得最大的收益)的控制器。

1 通量、信息流的选择与建立

1.1 植物工厂与作物的关系

不同植物工厂的模型可能会有所不同，但基于能量角度和整体平衡关系描述植物工厂系统的手段是通用的。将植物工厂与作物系统中的能量、质量、物质之间的关系抽象出来，可以得到它们之间的关系，如图1所示。

图1中，u表示控制变量；ω表示外界环境变量；X是容量变量，取决于系统的大小，变量X工厂表示植物工厂存储的与能量相关的容量信息，变量X作物表示作物保存的与质量相关的容量信息；变量I代表通量，例如，I内-工厂代表从内部设备转移到植物工厂的通量，包含热量、CO2浓度等强度信息，相反，I工厂-内代表植物工厂转移到内部设备的通量。

图1中的实线代表能量、水、碳物质等变量，虚线代表信息量的流通。(1)代表植物工厂内部设备控制信息，例如加热设备的控制信息、CO2设备的控制信息等；(2)代表种植者对植物工厂的操作信息，例如加热温度的设置等；(3)代表植物工厂外部设备控制信息，例如窗户的开关等；(4)代表植物工厂对内部设备反馈的相关状态信息，例如植物工厂的温度、CO2浓度等；(5)代表植物工厂对外部设备反馈的相关状态信息，例如植物工厂的空气湿度等；(6)代表植物工厂的状态信息，例如植物工厂的温度、CO2浓度、空气湿度等；(7)代表作物的自身状态信息，例如植物的干质量等；(8)代表对作物进行操作的信息，例如收取作物的质量、消除杂物的质量等信息；(9)代表外界环境与内部设备相关的信息，例如外界的温度、光照度等；(10)代表外界环境与外部设备相关的信息，例如外界的风速、空气湿度等。

1.2 植物工厂系统中通量的平衡关系

在植物工厂-作物系统中，质量与能量平衡关系的表现形式如下：

(1)

(2)

由于通量变化取决于强度变量而不是容量变量，因此基于强度变量角度建立系统模型更为可行。能量和质量的容量变量与强度变量的关系可以被描述为

X=Mx。

(3)

式中：矩阵M=[mij][i、j∈(1,2,…,n)]代表容量系数；x代表系统中的强度变量。

将公式(3)展开可得：

(4)

其中，第i个容量变量等于第ij个系数乘以第j个强度变量相加的和。

原则上，容量变量可以是强度变量的函数。对公式(4)求导可得：

(5)

令：

(6)

可以得到：

(7)

(8)

(9)

由于变量I与强度变量相关，因此可以将公式(8)、公式(9)表达为函数形式，其一般非线性变量函数分别为

(10)

(11)

式中：f工厂为关于植物工厂的变量函数；f作物为关于作物的变量函数；输入量为控制变量u和外界环境变量ω。

2 植物工厂温度的最优控制模型

任何系统的最优控制都基于2个方面进行设计考虑，即以数学模型为基础和以1个数学成本最大值(最小值)函数为基础。实际问题是要求植物工厂利益最大化，因此成本函数的数值代表收益的多少，必须使其达到最大值。收益等于售卖作物所获得的费用减去维持植物工厂环境的必要花费。植物工厂与作物的数学动态模型如下：

(12)

(13)

由公式(12)可知，作物质量与光照度和温度成正比。公式(13)阐述的是外界温度与植物工厂温度的关系，从植物工厂加热系统获得的热量输入用K表示。通过提高温度、提供光照能促进作物质量的增加，但提高温度会消耗能量，因此对温度的控制须要进行权衡。在没有光照的条件下，不须要加热，因为植物在没有光照的条件下会停止生长，因此加热将失去意义。

成本方程J代表利润，其具体计算公式为

(14)

为分析和解决最优控制问题，采用状态空间的一般形式表达植物工厂系统。首先通过公式(12)、公式(13)来描述系统的状态变量。状态变量通常用符号x表示。则

x1=U，x2=T。

(15)

公式(12)、公式(13)除常数外的其他自变量都被叫作输入变量或输入。2种输入类型分别是可控的控制输入与由外界环境变量决定的外界输入。控制变量用u表示，由于加热可以被控制，因此，

u1=K。

(16)

外界输入用符号ω代表，因此，

ω1=L，ω2=T外。

(17)

系统模型可以表达为

(18)

(19)

引入变量：

(20)

则公式(19)、公式(20)可以用下式进行表达：

(21)

用一般的函数表达公式(21)为

(22)

其中，

(23)

式中：变量x,u,c,ω可以是任意维数，且变量函数f(x,u,c,ω)也可以是任意维数，因此公式(23)是一般通用状态空间表达形式。在状态空间形式中定义系统的初始状态U(t0)、T(t0)，表示为

(24)

通过确定变量函数f(x,u,c,ω)和变量x(t0)，可以分别确定系统和初值。

在最优控制中经常假定成本函数是最小值而不是最大值。通过颠倒成本函数的符号(正负号)，用最大值替换最小值，将成本公式变成最小值形式：

(25)

为表达成本函数取决于控制输入曲线u(t),t0≤t≤tf，成本函数J经常被写作f[u(t)]。令：

Φ[x(tf)]=-c4x1(tf)；

(26)

L(x,u,c,ω)=c5u1。

(27)

则公式(25)可被写为

(28)

公式(28)是成本核算公式的一般表达形式，Φ[x(tf)]、L(x,u,c,ω) 是标量函数，其中Φ[x(tf)]取决于系统独立的最终状态x(tf)，被定义为植物工厂收益；L(x,u,c,ω)代表从初始时刻t0至最终时刻tf植物工厂的运行费用，被定义为运行成本。

3 非线性规划两点边值问题

将温度控制的最优控制问题转化为可以用非线性规划方法求解的形式。非线性规划方法问题的一般形式为

minf(x)
s.t.hi(x)=0(i=1,2,…,n)；
gj(x)≥0(j=1,2,…,m)。

(29)

式中：f(x)为目标函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数；hi(x)是等式约束函数；gj(x)是不等式约束函数。约束函数也可以是非线性函数。

(30)

并满足线性等式约束：0≤u≤20。

4 仿真试验与结果分析

基于植物工厂的温度控制模型，利用Matlab软件进行 24 h 全天仿真试验。

tf=24，Φ[x(tf)]=-c4x1(tf)，

采用非线性规划对植物工厂温度的最优控制进行仿真试验。为更清晰直观地表达变量之间的关系，将变量的数值进行适当比例的缩小。从图2可以看出，控制器可以得到期望的控制，即当光照度和外界温度适宜时，加热量达到最大，可以在保证作物生长温度适宜的条件下，在无光照时停止加热，以节省植物工厂运行的费用。从图3可以看出，状态变量x1随着时间的延长是逐渐上升的，说明作物的干质量在控制器的控制下是逐渐增加的，可以保证在运行成本最小的情况下保证收益的最大化。从图4可以看出，在6 h附近植物工厂内部的温度开始升高，停止加热时温度降为0 ℃。

5 结论

本研究针对植物工厂与作物系统建立关于能量的系统模型，并确定各个通量间的平衡关系。利用最优控制相关理论，在考虑作物收益的同时，将植物工厂的运行费用加入计算之中，使植物工厂与作物系统的收益最大化。本研究在考虑加热成本、植物工厂内外温度以及光照条件等因素的情况下，对加热量进行控制。利用Matlab进行仿真试验并得出理想的温度控制律，且证明该控制律可以使植物工厂整体收益随时间的延长逐渐增加，具有较高的应用前景和工程实用价值。