基于曲面拟合的复杂自由曲面网格划分

陈礼杰，吴慧，李铁瑞，高博青



基于曲面拟合的复杂自由曲面网格划分

陈礼杰1，吴慧2，李铁瑞1，高博青1

(1. 浙江大学 建筑工程学院，浙江 杭州，310058；2. 浙江财经大学 公共管理学院，浙江 杭州，310018)

为了实现复杂自由曲面的建筑网格划分，将复杂自由曲面拟合成1个曲面，并利用映射法进行网格划分。首先提出基于非均匀有理B样条(NURBS)的线面求交和基于NURBS的面面求交2种方法，获得复杂自由曲面的×点云；将×点云作为控制点构造NURBS曲面，然后把修剪后的NURBS曲面边界按给定数目或给定长度划分，连接参数域上的边界节点后得到参数域网格，将其映射回空间曲面。对边界处网格进行投影处理以减少曲面拟合出现的边界褶皱及内缩问题。采用加密点阵技术减小曲面拟合的误差。研究结果表明：与多曲面网格划分方法相比，采用曲面拟合及映射法能够得到线条流畅、大小基本一致的网格，具有良好的建筑美学效果。

非均匀有理B样条(NURBS)；复杂自由曲面；曲面拟合；映射法；网格划分

随着计算机科学技术的进步、建筑施工工艺的发展和人们建筑审美水平的提高，自由曲面结构以其优美的造型越来越多地出现在人们的视野当中。“自由曲面”指无法用单个或几个解析函数表达的曲面，也可理解为那些明显区别于传统建筑造型的曲面[1]。由于解析曲面具有一定的周期性或规律性，其网格划分比较方便。而自由曲面的不规则性使传统的网格划分方法难以适用于自由曲面结构。因此，如何在自由曲面上生成线条流畅、大小基本一致的网格，是空间结构领域的热点和难题[2]。网格划分起源于有限元领域[3]，常用的方法有Delaunay法[4]、波前法[5]、映射法[6]等。但有限元领域的网格划分方法难以满足建筑美学线条流畅、大小基本一致的要求。因此，近年来有研究者针对自由曲面的建筑网格划分进行了相关研究，如：WINSLOW等[7]以杆件走向为优化变量，以结构性能为目标函数，用遗传算法实现自由曲面的多目标优化；SU等[8]绘出自由曲面的主应力迹线，采用改进的波前法自动生成网格；潘炜等[9]按照展开前、后面积变化最小的原则展开曲面，并利用线推进法生成平面网格，最后映射回空间曲面；丁慧等[10]提取等参线并以杆件长度相等为条件分割等参线，连接等参线上的节点生成网格。复杂自由曲面由多个非均匀有理B样条(NURBS)裁剪曲面组成，且存在内部空洞等复杂情况。针对该类自由曲面，现有的网格划分方法是在每个裁剪曲面上分别划分网格，然后对交界附近网格进行调整。该方法的缺点是网格划分不易进行，交界处网格不好调整，难以达到建筑美学线条流畅的要求。本文作者提出基于NURBS的线面求交和面面求交2种方法，获得复杂自由曲面的×点云。第1种方法是构造矩形×平面点阵，过每个点作平行于Z坐标轴的射线与NURBS曲面求交，得到×点阵；第2种方法是根据NURBS曲面的特征，构造个平面并与NURBS曲面求交，对交线均匀采样个点，修补边界后得到点阵。利用向心参数化方法得到点阵的和向节点矢量，构造以为控制点阵的NURBS曲面。将修剪后的NURBS曲面边界按给定数目或给定长度划分，连接参数域上的边界节点后形成参数域网格，将其映射回空间曲面，对边界处网格作投影处理，即可得到线条流畅、大小基本一致的四边形网格。

1 曲面拟合

曲面拟合技术在逆向工程和计算机辅助设计等领域中得到了广泛应用[11]。利用计算机视觉技术(如激光扫描)对自由曲面进行数字化，可得到大量散乱数据点，根据数据点集可得到实物的CAD模型[12]。

在建筑工程领域，逆向工程用于古建测绘和古建保护、快速建立城市模型、空间网格结构的逆向建模等方面。李娜[13]借鉴逆向工程的操作原理，利用激光三维扫描系统进行实物样件的点云数据采集，采用蒙皮法进行曲面造型，然后进行网格划分。该技术基于对实物进行激光扫描得到大规模散乱数据点。在复杂自由曲面网格划分时，一般建筑师已经提供符合其设计意图的曲面CAD模型；为了获得线条流畅、大小基本一致的网格，本文作者提出基于NURBS的线面求交和面面求交2种方法，获得复杂自由曲面的×点云，构造以×点云为控制点阵的NURBS曲面，为映射法划分网格提供基础。

图1所示为某工程CAD模型。下面以图1为例，介绍基于NURBS的线面求交法和基于NURBS的面面求交法。

图1 某工程CAD模型

1.1 基于NURBS的线面求交法

根据NURBS曲面的强凸包性[14]和控制点阵为矩形拓扑[12]的特点，构造1个×矩形平面点阵作射线与NURBS曲面求交，提取原曲面信息。算法流程如图2所示。

图2 基于NURBS的线面求交法流程图

Fig. 2 Flow chart of NURBS based ray-surface intersection method

图3 延伸曲面上边界

图4 N×M矩形点阵及曲面包围盒

NURBS曲面与射线求交是一种基础的几何算法，常用于雷达散射截面计算(RCS)的射线追踪计算[15]、逆向工程中曲面的制造误差计算[16]等方面。

首先利用Krawczyk算子判断式(1)在某一区间是否存在解，然后对存在唯一解的区间给定1个初值，利用牛顿迭代法求解。详细流程参见文献[16]。

图5 裁剪NURBS曲面的有效交点与无效交点

1.2 基于NURBS的面面求交法

前面提出一种提取原曲面信息的方法，现通过构造个平面与NURBS曲面求交提取原曲面信息。算法流程如图6所示。

1) 补齐曲面空洞。当复杂自由曲面内部存在空洞时，为了保证平面与曲面的交线在平面上能够拟合为一条曲线，用平面补齐空洞。补齐空洞及平面切割方式如图7所示。

图6 基于NURBS的面面求交法流程图

图7 补齐空洞及平面切割方式

2) 选择平面切割方式。复杂自由曲面由多个NURBS裁剪曲面组成，应根据曲面各部分的走向和特征，选择合适的切割方式，如直线式和圆弧式切割(见图7)。原曲面由11个NURBS曲面组成(不包括补齐空洞的平面)，分为5部分切割。第1部分由平面上点1和点2及平面数1确定。首先过点1和点2作直线，然后以为正法线，等距离地作1个平面与曲面求交。第2部分由平面上点3、点4、点5及平面数2确定。首先过点4以直线为正法线作平面，然后以点4为旋转中心，轴为旋转轴，将平面旋转2−1次，每次旋转角度为∠345/(2−1)，即可得到2个平面与曲面相交。其余3个部分依此类推。

3) NURBS曲面与平面求交。用平面与CAD模型的个曲面求交，如图8所示。平面与4个曲面相交，共有5条交线，其中与曲面2有2条交线即交线2 和4。

4) 处理同一平面上的交线(见图8)。首先处理裁剪曲面与平面求交的情况。曲面1是裁剪曲面，其删除部分不显示，因此，把位于曲面1删除部分且与平面相交的交线删除。对曲面4进行同样处理。平面与NURBS曲面共有5条交线，每条交线均匀采样一定数目点，然后构造1条插值于所有采样点的NURBS曲线。每个平面都得到1条与原曲面相交的曲线。

图8 同一平面上交线处理

5) 拟合曲线采样。曲面拟合中NURBS曲面的型值点或控制点必须为矩形拓扑，故得到平面和原曲面拟合后的交线后，对该交线均匀采样个点，由此保证NURBS曲面与个平面求交后得到的点阵为矩形拓扑。

6) 补齐边界。对于与NURBS曲面相交的第1个和最后1个平面(下面称边界平面)，总存在一部分曲面在边界平面之外，其大小不能忽略。取这部分曲面的边界线，并均匀采样个点，可以保证完整地提取原曲面的信息。补齐边界方式如图9所示。

图9 补齐边界

经过以上步骤，可以得到矩形拓扑点阵。

1.3 拟合NURBS曲面

利用曲面拟合中常用的向心参数化[14]方法构造矩形拓扑点阵的节点矢量和。获得点阵和节点矢量和之后，进行曲面拟合。

对于矩形拓扑点阵，传统的曲面拟合方法是将其作为型值点阵，创建1个非有理的(，)次B样条曲面(,)，使其插值于这些点。

式中：Q为型值点；u和v分别为其对应的和向参数值；R(u, v)为其对应的有理基函数；P为待求的控制点。

另一种方法用1个非有理的(，)次B样条曲面(，)逼近这些点，以控制点为优化变量，满足如下条件：

为了准确地表示复杂自由曲面，其矩形拓扑点阵的点数×不能太少。若使用插值或逼近方法，则至少需要解1个(×)×(×)的线性方程组，这将使计算时间大大增加。

针对复杂自由曲面拟合问题，采用控制点逼近方法。控制多面体是对B样条曲面的平面片逼近，次数越低，逼近效果越好；当节点矢量无限加细时，控制多面体将收敛于曲面[17]。因此，以为控制点阵，在节点矢量和上构造非有理的双二次B样条曲面(,)，根据CAD模型的原有边界情况对(,)进行裁剪。基于NURBS的线面求交法和面面求交法的拟合曲面与裁剪曲面分别如图10和图11所示，2种求交方法的拟合曲面虽不尽相同，但裁剪曲面都能反应复杂自由曲面的特征，可为映射法网格划分提供基础。

(a) 拟合曲面；(b) 裁剪曲面

(a) 拟合曲面；(b) 裁剪曲面

2 映射法划分网格

图12所示为映射法划分网格示意图。建筑师提供的CAD模型由3个曲面构成(见图12(a))，利用基于NURBS的线面求交法，将3个NURBS裁剪曲面拟合为1个曲面(见图12(b))，利用映射法划分网格。

(a) 某工程CAD模型；(b) 边界等长度分段；(c) 空间曲面上网格；(d) 处理后网格

1) 将空间曲面边界分段。以二分法为基础，将空间曲面的边界按弦长分段。分段方式有给定长度、给定段数、等比例或指定长度数组等(见图12(b))。

2) 将分段点投影回参数域，连接参数域上的分段点后形成参数域网格。分段后的边界点反向映射回参数域中，在参数域中将边界点按照建筑师期望的走向依次连直线。

3) 将参数域网格映射回空间曲面，得到空间网格(见图12(c))。

4) 处理边界处网格。由图12(c)可知：用映射法在拟合曲面上画出的网格在原有曲面交界处线条流畅，但在拟合曲面的边界处质量不佳，为此需处理边界处网格。下面介绍该具体方法。

3 算例与比较

3.1 2种求交方法的比较

前面以图1为例详细介绍了基于NURBS的线面求交法(以下简称方法一)及基于NURBS的面面求交法(以下简称方法二)的算法流程。表1所示为2种方法的比较结果(其中，为将复杂自由曲面拟合为1个曲面所需的时间，U为拟合曲面上边界最大误差，L为拟合曲面下边界最大误差)。

方法一耗时最久的步骤是曲面与直线求交，需进行49万(700×700)次求交运算；方法二耗时最久的步骤是曲面与平面求交，只需进行900次求交运算。故方法二的速度远快于方法一的速度。

表1 2种方法的比较

图13所示为方法一边界处褶皱。方法一中，当曲面边界走向不严格为平面点阵走向时，边界附近的控制点不能很好地还原曲面的边界信息，出现“褶皱”问题，导致上、下边界最大误差较大。此时，可以通过加密平面点阵的方法来减小褶皱，但会使时间大大 增加。

图14所示为方法二下边界误差。原曲面下边界出现直角转折，在下边界附近的3个采样点由此也产生较大转折(见方法二步骤5))。因为NURBS曲面的强凸包性，拟合曲面在此处出现最大误差为250.5 mm，可以通过加密采样点的方法减小误差。而上边界处转折较小，最大误差仅为2.1 mm。

图13 方法一边界处褶皱

图14 方法二下边界误差

2种方法除边界处出现误差外，其余部分误差均小于5 mm。用映射法网格划分时需将边界处网格投影至原曲面以消除误差，方法一还需手动处理因“褶皱”而畸形的网格。

通过2种方法的比较可以得出以下结论：1) 方法二比方法一复杂；2) 方法二的速度远快于方法一的速度，最大误差也比方法一的小；3) 利用映射法划分网格时，2种方法均需将边界处网格投影回原曲面，方法一还需手动处理因“褶皱”而畸形的网格。

3.2 分曲面划分网格与曲面拟合划分网格比较

以某工程CAD模型(见图12(a))为例，用分曲面的方法划分网格，如图15所示。首先将曲面1的边界1等长度分段，根据欲划分的网格形式确定边界2的分段点，最后连接边界1分段点或同时连接边界1、边界2分段点(见图15(a))。划分好曲面1的网格后，凭经验确定曲面2上边界3的分段点，连接边界2分段点或边界2、边界3分段点(见图15(b))。同理画出曲面3的网格(见图15(c))。但上述过程依赖于工程师的经验，且网格划分容易失败。

在边界2附近，曲线1为边界1分段点相连所得曲线，曲线2为边界1和2分段点相连所得曲线，因此，导致网格大小不均匀(见图15(a))。由于分别在3个曲面上划分网格，导致边界处网格不均匀，线条不流畅(见图15(c))。对边界处质量不佳的曲线进行一定调整，调整后网格均匀性有一定提高，但交界处曲线流畅性仍然不佳(见图15(d))。

(a) 曲面1；(b) 曲面1和2；(c) 曲面1，2和3；(d) 调整后网格划分

现用曲面拟合的方法对图12(a)进行网格划分。该工程平面投影为椭圆形，平面面积为146.0 m× 116.0 m。用方法一获得600×600点阵，拟合为1个曲面，等分外边界，在参数域上将外边界分段点依次连为直线后将参数域网格映射回空间曲面(见图12(c))。将边界处网格投影回原曲面，并处理极少数因“褶皱”而畸形的网格，得到最终的网格划分(见图12(d))。

图15中在原有的3个曲面上分别划分网格，因此，在交界附近网格不均匀，线条过渡不流畅，且难以调整，网格划分过程依赖工程师个人经验，且容易失败；图12(d)中线条流畅，网格大小基本一致，且过渡均匀。虽然在边界处出现一定误差，但可以通过加密点阵减小误差，或将边界处网格投影回原曲面，以消除边界处误差。

4 结语

1) 提出2种点云生成方法：方法1中构造1个×矩形平面点阵并作射线与复杂自由曲面求交，从而获得矩形拓扑点阵；方法2需合理选择平面切割方式，将复杂自由曲面分为几个部分，构造个平面与复杂自由曲面求交，并将多条交线拟合后均匀采样个点，修补边界后获得矩形拓扑点阵。

2) 将二者进行比较，令点云为控制点阵，把复杂自由曲面拟合为1个NRUBS曲面，以映射法划分空间网格。

3) 与分曲面划分方法相比，曲面拟合和映射法能够得到线条流畅、大小基本一致的四边形网格。

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Grid generation on complex free-form surface based on surface fitting

CHEN Lijie1, WU Hui2, LI Tierui1, GAO Boqing1

(1. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;2.Public Administration College, Zhejiang University of Finance & Economics, Hangzhou 310018, China)

In order to obtain architectural mesh of complex free-form surface, the complex free-form surface was fitted into one surface and then grids were generated using mapping method. First, two methods called NURBS based on ray-surface intersection and NURBS based on plane-surface intersection were proposed to obtain the×point cloud of complex free-form surface. Secondly, a NURBS surface was constructed using the×point cloud as control points, then the boundaries of trimmed NURBS surface were divided by a given number or a given length, and the boundary nodes of the parametric domain were connected to get parametric domain grids. After that, the grids were mapped onto the free-form surface. Lastly, the grids near the boundaries were projected onto original surfaces to reduce boundary fold and shrinkage caused by surface fitting. To reduce the error of surface fitting, the number of point cloud was increased. The results show that compared with the method which respectively generates grids on multiple trimmed surfaces, the proposed methods produce fluent and uniform grids, with good architectural aesthetics.

non-uniform rational B-splines (NURBS); complex free-form surface; surface fitting; mapping method; grid generation

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.07.019

TU393.3

A

1672−7207(2018)07−1718−08

2017−07−02；

2017−08−20

国家自然科学基金资助项目(51378457，51678521)；浙江省自然科学基金资助项目(LY15E080017) (Projects(51378457, 51678521) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(LY15E080017) supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province)

高博青，博士，教授，从事空间结构研究；E-mail: bqgao@zju.edu.cn

(编辑 伍锦花)