Degasperis-Procesi方程的弱适定性*
2018-08-08王健鸣冯兆永刘成霞
王健鸣,冯兆永,刘成霞
(1. 广东工业大学应用数学学院,广东 广州 510520;2. 中山大学数学学院,广东 广州 510275;3. 南方医科大学口腔医院,广东 广州 510280)
本文主要研究如下的Degasperis-Procesi (DP)方程:
ut-utxx+4uux=3uxuxx+uuxxx,t>0,x∈R
(1)
当t=0时,u满足初始条件
u(0,x)=u0(x),x∈R
(2)
Degasperis-Procesi 方程和Camassa-Holm方程是两个重要的浅水波方程,现如今对于这两个方程已有较为完善的研究结果[1-13]。DP方程是由Degasperis和Procesi在研究动力学的非线性浅水波模型时提出[4]。随后Degasperis等[5]证明了DP方程具有双Hamiltonian结构,完全可积,并且有尖峰孤立子解。对于DP方程,殷朝阳证明了该方程在初值u0∈Hs(R),s>2/3时解的局部适定性[10],并证明了整体解的存在性和解的爆破现象[11]。Coclite和Karlsen研究了DP方程的Cauchy问题在初值u0∈L2(R)∩L4(R)时弱解的存在性和熵弱解的唯一性[12]。Escher等[13]研究了DP方程强解的爆破率和弱解的整体存在唯一性。本文受文献[14]启发,运用特征线方法将DP方程转化成ODE系统,再利用ODE理论研究该ODE系统解的存在唯一性,进而证明DP方程当初值u0∈H1(R)∩W1,∞(R)时解的局部存在唯一性,并给出方程的解对初值的弱连续依赖性。
令m=u-uxx,方程(1)可写成
mt+mxu+3mux=0,t>0,x∈R
(3)
(4)
下面给出本文的主要结论:
其中常数c>0。此外,如果在空间X上初值u01→u02,则在H1([0,T)×R)上有u1→u2,其中u1,u2是Cauchy问题(1)-(2)的解。
1 ODE系统解的存在唯一性
对于Cauchy问题(1)-(2)的光滑解,设x(s,t)为方程(1)-(2)的特征线,s为初值,即
(5)
记U(s,t)=u(x(s,t),t),W(s,t)=ux(x(s,t),t),令
F1(ξ,U)(s,t)=
(6)
F2(ξ,U)(s,t)=
(7)
考虑ξ(s,t)=x(s,t)-s,∀s∈R,t>0,由方程(5),可得到
(8)
对于U(s,t),利用链式法则,结合方程(4)可得
ut+uux=F1(ξ,U)(s,t)
(9)
(10)
从而得到如下ODE系统
(11)
为了书写方便,记X=H1(R)∩W1,∞(R),Y=L2(R)∩L∞(R)。假设essinfξs≥α>-1,并考虑ξ∈Oα={ξ∈X:1+essinfξ>α}。为了证明ODE系统(11)解的存在唯一性,先证明以下引理。
证明由题设知,ODE系统(11)可写成积分形式
(12)
其中v(·,t)=(ξ,U,W)(·,t)∈Oα×X×Y,t∈[0,T)。对任意v1,v2∈Oα×X×Y,设常数
i=1,2,则有
(13)
对于F1,通过插项可得到
∀f∈Lr(R)
其中,x和ω互为逆函数。又由于xs(s,t)=ξs(s,t)+1,通过变量替换并利用Young’s不等式可得
(14)
根据文献[14]的引理2.15,有
|G′(x1(s)-x1(σ))-
G′(x2(s)-x2(σ))|≤
G((1+α)(s-σ))·
(ξ1(s)-ξ2(s)+ξ1(σ)-ξ2(σ))
I2=F1(ξ1,U2)-F1(ξ2,U2)=
(∂sx1(σ,t)-∂sx2(σ,t))dσ+
类似于I1,通过变量替换并应用Young’s不等式得到
(15)
(16)
∂sF1(ξ,U)(s,t)=
从而
类似于不等式(16)的推导,可以得到
(17)
对于F2,类似于上述方法,有
(18)
所以,将式(16)-(18)代入式(13)得到
(19)
其中常数C(α,K)仅与α,K有关。
由F的定义知,F(0)=0,代入式(19)可得
故对任意的v(s,t)∈Oα×X×Y,有F(v(s,t))∈X×X×Y。所以映射F:Oα×X×Y→X×X×Y满足局部Lipschitz连续,引理得证。
类似于文献[14]定理3.8的证明过程,利用引理1和ODE理论容易推出以下命题。
2 DP方程局部解的存在唯一性
由于ξ(s,t)=x(s,t)-s,我们定义Sξ(x,t)=ω(x,t)-x,∀x∈R,其中x和ω互为逆函数。为了证明DP方程解的存在唯一性,先给出下列引理。
引理2[14]映射S具有下列性质
(i)S:Oα→X,且
(ii)对于任意ξ1,ξ2∈Oα,有
(iii)映射DxS:Oα→L2(R)是连续的。
引理3[14]对于任意f∈C([0,T):L2(R)),映射Hf:ξ→f(ω,t)从Oα到L2(R)一致连续,其中ω是x的逆函数,x(s,t)=ξ(s,t)+s,∀s∈R,t>0。
下面先证明DP方程局部解的存在性。
由于
u(x,t)=U(ω(x,t),t)
应用变量替换可得
(20)
所以u(·,t)∈L2(R)。根据引理2,对任意t1,t2∈[0,T),有
又ξ∈C([0,T):L2(R)),所以u∈C([0,T):L2(R))。
由命题1有∂sU=W(1+∂sξ)=W∂sx,进而ux(x,t)=∂sU(ω(x,t),t)ωx(x,t)=W(ω(x,t),t)类似于式(20)有∂xu(·,t)∈L2(R)。又由于W∈C1([0,T):Y),从而有∂tW∈L∞([0,T):Y),于是对任意t1,t2∈[0,T),可推出
因为
W(·,t)∈C([0,T):L2(R))
由引理3知,当ξ(·,t2)→ξ(·,t1)时,
所以,当t2→t1时,有
故
∂xu∈C([0,T):L2(R))
从而
u∈C([0,T):H1(R))
因为
U∈L∞([0,T):W1,∞(R))
容易推出u∈L∞([0,T):W1,∞(R))。
下面证明u∈C1([0,T):L2(R))。假设u(·,t)是方程(4)的解,则有
*u2
从而,对于任意的t1,t2∈[0,T),有
最后,证明u(·,t)是方程(4)的解。由链式法则有∂tU(ω(x,t),t)=Usωt+Ut,又因为ωt=ωxxt=uωx且Usωx=ux,所以∂tU(ω(x,t),t)=-uUsωx+Ut=-uux+Ut。从而ut存在,且ut+uux=Ut。由于v=(ξ,U,W)是ODE方程(11)的解,所以Ut=F1(ξ,U)(s,t),因此得到
*u2
故u(·,t)是方程(4)的解,命题得证。
下面,证明DP方程Cauchy问题解的唯一性。
命题3 设初值u0∈X,如果u∈ZT是Cauchy问题(1)-(2)的解,则u是唯一的。
证明由于u∈ZT,通过文献[14]中定理3.10的证明,知道Cauchy问题
∂tξ(s,t)=u(s+ξ(s,t),t),ξ(s,0)=0
(21)
有唯一解ξ∈C1([0,T):C(R))∩L∞([0,T):W1,∞(R)),而且∂tξ∈C([0,T):C(R))∩L∞([0,T):W1,∞(R))。
对于任意s∈R,t∈[0,T),定义
x(s,t)=ξ(s,t)+s,U(s,t)=u(x(s,t),t),
W(s,t)=ux(x(s,t),t)
因为u是Cauchy问题(1)-(2)的解,利用链式法则可得
∂tU(s,t)=ut+uux=F1(ξ,U)(s,t)
(22)
上式两边对变量s求导,容易推出
∂t∂sU(s,t)=∂sF1(ξ,U)(s,t)=
(23)
由式(21)-(23)可得v(s,t)=(ξ,U,W)(s,t)是ODE方程(11)的解。由命题1知方程(11)的解唯一,又因为映射s→x(s,t)在R上微分同胚,所以Cauchy问题(1)-(2)的解u也是唯一的,命题3得证。
由命题2-3知Cauchy问题(1)-(2)的解存在唯一。
注2 定理1中DP方程的解对初值的弱连续依赖性的证明方法类似于命题2的估计过程,这里证明省略。