利用综合除法巧解一元多项式问题

胡姣姣　程茜

摘 要 综合除法在高等代数学习中占据非常重要的地位，数学解题中应用十分广泛。而一元多项式的计算特别是分解因式、求根问题比较复杂难解，本文利用综合除法简便计算多项式函数值，对高次多项式进行有效分解，同时推广了除式次数大于1的综合除法的表示形式。

关键词 多项式 综合除法 有理根 因式分解

中图分类号：O13 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.04.023

The Ingenious Use of Synthetic Division to Solve

the Problem of One Element Polynomial

HU Jiaojiao， CHENG Qian

（School of Mathematics and Statistics， Qinghai Normal University， Xining， Qinghai 810008）

Abstract Synthetic division plays an important role in the study of higher algebra， is widely used in solving mathematical problems. And the calculation of a polynomial factorization， especially the root problem is complicated， in this paper， the polynomial function can be easily decomposed by using the synthetic division method， and the high degree polynomial can be decomposed effectively. And at the same time， the expression of division number greater than 1 is extended.

Keywords polynomial； synthetic division； rational root； factorization

一元多项式是数学学习重要组成部分，是学生学习函数的基石；综合除法是带余除法的一种特殊情况，是研究多项式理论的重要工具，在多项式计算中充当有利工具，本文利用这一工具分析如何简便快速计算多项式函数的函数值问题，且在综合除法的基础上结合有理根判断法分解高次多项式；最后再对除式次数大于1的综合除法表达式，讨论其商式和余式的求法并给出简洁的表达形式。

1 预备知识

定义1.1[1] 数环上一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达

这里是非负整数；都是中的数。在多项式中叫作常数项或零次项，叫作次项，叫作次项的系数。

定理1.1[1]设，，则中可找到多项式，当去除时，使，所得余式就是在处的值，即。

定理1.2[1] 设是一个整系数多项式，若有理数是的一个根，和是互素的整数，是一个整系数多项式，那么

（1） 整除的最高次项系数，而整除的常数项系数；

（2）

现介绍综合除法。设由定理1.1得其中

商式；

余式为，则可用下表计算出商式的系数和余式：

这就是综合除法。

2 综合除法的应用

2.1 利用综合除法简便计算多项式的值

在计算高次幂多项式函数的值时，会出现运算复杂、运算量大、耗时长等特点，为简化运算、提高效率和正确率，当题目要求求得某高次多项式函数的值时，那么可以将利用综合除法写成的多项式形式，余式的值即就是所求的值。

例1 ，求

解：将通过综合除法分别写成以为除式的形式

即；

此时得

例 2 将多项式表示成的形式

解：

所以

因而

综合上述解题方法，可发现在求特定高次多项式值时，综合除法不仅提高运算效率，还降低了运算量，将函多项式写成特定函数幂的形式对解题以及理解多项式也具有非常重要的意义。

2.2 分解因式

分解因式是代数式的恒等变形，目前使用因式分解的方法中例如十字交叉法只能解决较低次幂多项式的问题，对于高次幂多项式计算仍没有行之有效的解决办法。此时借助定理1.2利用综合除法可解决高次多项式求有理根的问题。

例3 求多项式的有理根

解：由题知最高项系数1的因数是？，常数项-6的因数是？；？；？；？，由定理1.3知，所有可能的有理根是？； ？；？；？。以下通过综合除法来检验。

即（二重根），-1，-2，3为全部根。

本题中多项式次数较高，简单十字交叉法不能，将因式分解，运用综合除法可对其分解，但注意重根情形。

3 除式为高次多项式的综合除法

将综合除法中除式为的形式推广为更高次的整系数多项式问题，文献[2]中未给出余式的具体的表达式，文献[3]虽分类详尽，但结构太过复杂，因此为提高应用广泛性和可操作性得到以下一般形式。

定理：设有，，且，

；

；

商式；

余式

则有；

且；

；；；且

则有下表：

定理由关系式，比较同次项系数易得。

例4 设，求除的商式和余式。

解：令；那么

根据上述一般方法公式对使用综合除法，除式为

所以除的商式为，余式为

本题利用上面的表达式，简捷地计算了除式为高次项的多项式运算，使问题变得简单化。如果除式中最高项系数不为1，那么我们应该先将除式变为最高项系数为1的多项式再利用综合除法一般形式进行计算即可。

4 结束语

本文利用综合除法及其相关拓展解决了多项式值计算繁琐复杂的问题；高次多项式因式分解的问题；同时给出除式为高次多项式的综合除法的简洁表达形式，这将多项式的各知识点连接起来，大大提高了综合除法的实用性，为研究多项式的求根与分解等问题提供了更加有效的途径。

参考文献

[1] 張禾瑞.高等代数第五版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 马建华.综合除法在中学数学中的应用初探.都市家教，2011（2）.

[3] 范良火.多项式除法的两个问题及若干新结果.高等数学研究，2005（8）.

[4] 冯国勇.在研究性教学法的总体思路下开展分层次教学——高职院校高等数学教学方式初探.科技信息，2008（28）.

[5] 窦永平.线性代数的教学思路（Ⅲ）——一元多项式运算理论的教学思路.发展，2009（3）.