高中数列裂项相消法求和教学设计

摘要：在课标的影响下，数列在高中数学中的地位越来越高，教师也越来越重视数列教学，数列与人们的生活密切相关，在实际生活中得到广泛的应用。数列求和是数列知识考查的重要方式，强调对数列基础知识的扎实掌握、有效应用，进而在灵活变动中寻求“求和”的新路径。本文结合对教材的学习，就高中常用的数列求和方法——裂项相消法法进行教学设计.

关键词：数列；裂项相消法；教学设计

一、引言

为了让学生学好数列求和的有关知识，获得一定的数学技能，提高自身的数学素养，基于此，结合课标要求，本文提出了具体可行的教学策略。公式求和教学方面，采用讨论交流相结合的方式，促进学生对前 项和公式的概念性理解，总结公式应用的类型，讲解具体例子，让学生吸取灵活解题的技巧，积累做题经验，让学生理解公式的应用渗透函数、方程思想；灵活运用裂项相消法等解决综合问题；及时复习数学思想、方法，形成知识体系。

二、裂项相消法教学设计

（一）教学设计思想

裂项相消求和法是数列求和的重点和难点之一，是高考常考的一种方法。它作为解决数列求和问题的一种常用方法，蕴含了非常深刻的数学思想。从字面理解，“裂项相消求和法”是把数列的通项公式分成几项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。教师在裂项相消求和法教学过程中首先应抓住“裂項”是手段、“相消”是关键、“求和”是目的这一本质特征，如果没有抓住这一本质特征，就谈不上应用和创新；其次必须阐明问题产生的背景、过程和结论的表述。因此，在教学时要充分启发学生对裂项相消法来龙去脉的理解。

（二）学生情况与教材分析

裂项相消法内涵丰富，课堂容量大，教师在授课时更多的是讲解核心概念、基本原理，注重数学思想、数学方法的培养。这也使很多学习被动，自学能力差、依赖心理强的学生感到不适应，不知道怎么学习。这需要教师去引导。裂项相消法是人教版必修5数列求和部分的延伸内容，此方法在高中数列求和中占有极其重要的分量，因为它能与很多知识点产生联系，例如与函数、不等式、几何、三角函数等，同时也涉及到分类讨论、数形结合、函数思想、递推思想等数学思想。

（三）教学目标：

知识与技能目标：学生能够熟练掌握应用裂项相消法给数列求和。

过程与方法目标：学生能够准确辨认出这类问题（应用裂项相消法求和）的形式，掌握如何拆项，如何提系数，消去之后余项是什么。

情感与态度目标：学生在自学与探究中体验数学方法的形成。

（四）教学重点：利用裂项相消法求数列的前n项之和。

（五）教学难点：在裂项相消法中如何“裂项”，裂项相消法的应用。

（六）教学方法：讲授法、练习法、启发法、类比法、引导法。

（七）教学过程：

教师：请同学们思考下面的几个问题。

问题1：你们会求数列 的前 项和为 吗？

预设情景1：一些学生在看到问题后就知道要用裂项法，直接问学生怎么拆，看看学生拆的对不对？

预设情景2：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，在通分。

经过简单计算发现让学生体会这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把

中的 分出来变成两项，把 中的 分出来变成两项， 中的 分出来变成两项。对三个分数 、 进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下 ，在观察不难发现，后两式相减即为前式，于是，总结出裂项的方法： ， 。

总结解题步骤：（1）裂项（把每一项都拆开）（2）消（观察特点，一正一负相抵消）（3）找余项

问题2：数列 的前 项和为 又怎么求呢？

教师：请同学们参照问题1自己完成。完成之后，请同学们思考什么是裂项相消？

学生：数列中的每一项（通项）分解，然后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。

教师：回答得很好，同学们，裂项相消就是将数列的通项拆成两项之差（或几项之差），求和过程中一些正负项可以化简或抵消，使前n项和简化成几项之和或之差的形式，这种求和法称为裂项相消法。运用这种方法求和时，需要明确哪些项是抵消或保留，要仔细观察，计算过程中可以将数列求和表达式的前几项与后几项写出来进行比较，找出在求和中互为相反数的项或可以合并的项，以确保计算正确。将通项进行拆项时，有时要对前面的系数作适当变形，使拆开的两项之差（或几项之差）与系数的乘积和原来通项保持等价关系。我们一起来看几个例题。

例1（2011课标全国卷）等比数列 的各项均为正数，且 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和.

分析：（1）只需通过已知条件求出 ， ；（2）可先求出 的通项，再将其转化为两项的差，利用裂项相消的方式求和.

解：（1）设公比为 .由 得， ，即 ，所以 。由 得， ，所以 .故数列 的通项公式为 。

（2）因为 ，所以

.故 。

所以 ，即数列 的前 项和为 。

教师：把数列的通项拆成两项的差，使正负项相消，则数列的和即为剩余的项的和，此为裂项相消法.使用此方法要注意消去了哪些项，保留了哪些项.由于每一项均可拆分为一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，剩余的正数项与负数项必是一样多的，切不可漏写未被消去的项.通常 ， 。

教师：在高考题型中，常常涉及以下裂项公式：

三、教学反思

教学设计应该反映数学发展的规律，以及人的认知规律和事物普遍联系的原理，应体现从具体到抽象、特殊到一般的规律。学生在某些问题的探索中，为寻求一般规律，往往先考查一些特例，通过对这些特例的归纳猜想，得到解决问题的一般方法，这对数学能力的培养至关重要，不仅培养了学生的自主探索精神，也为学生的终身发展奠定了基础。

参考文献：

[1]曹才翰、蔡金法.数学教育学概论[M].江苏教育出版社1989，2

[2]沈南山.数学教育学[M].中国科学技术大学出版社.2012，4

[3]沈建梅.高中数列教与学的实践与研究[D].扬州：扬州大学，2013

[4]王敬文.数列的教学设计研究[D].长春：东北师范大学，2006

作者简介： 杨静梅（1984- ），女，云南玉溪人，曲靖师范学院数学与统计学院教师，主要从事数学学科教学论方面的研究。

基金项目：曲靖师范学院校级课题·曲靖市数学新课程实施情况调查研究·2012QN028