浅谈代数不等式的基本性质的实际应用

胡映贵

代数不等式的基本性质是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节，是解决很多数学问题的有利工具，再加上它在实际问题中的广泛应用性，决定了它将是常考不衰的高考热点问题。根据有关资料显示，在历年高考试题中，直接或间接考查不等式知识约占总分的四分之一以上。代数不等式基本性质的学习对发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力、推理能力起着非常重要的作用。不等式的基本性质试题不仅体现了“基础与能力考查并重”的原则，还体现了转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、最优化数學思想、函数与方程的思想、建立数学模型的思想等等。怎么把代数不等式的基本性质融入到实际解题中就是本文所研究的。

一、不等式基本性质的运用

同学们都知道，不等式的基本性质有以下三条：（1）不等式的两边加上（或减去）一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边都乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边都乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变 ，通过举例，说说不等式基本性质的作用。

（一）比较大小

利用不等式比较大小，有两种方法：第一，作差比较法。比较两个实数的大小，或者比较两个代数式的大小，我们可以拿一个实数减去另外一个实数，或者可以拿一个代数式减去另外一个代数式，如果差大于零，那么被减数或被减式大于减数或减式；如果差等于零，那么被减数或被减式等于减数或减式；如果差小于零，那么被减数或被减式小于减数或减式。第二，作商比较法。这一种方法适用于含有幂代数式大小的比较。拿一个代数式除以另外一个代数式，如果商大于1，那么被除式大于除式；如果商大于零小于1，那么被除式小于除式；不过此种方法有使用范围，必须是两个代数式同正同负，其他情形一般不适合第二种方法。

（二）确定范围

利用不等式可以确定一些实际问题中的取值范围。第一，在函数问题中，可以用不等式表示函数的定义域及值域。第二，在实际应用题中，可以用不等式表示可以取哪些值。如表示工资钱数，只能大于零。第三，在分类讨论数学题目中，可以用不等式表示分类的具体情况。如可分为大于零，等于零，小于零这三种情况。第四，用不等式可以表示一些实际生活中的数学问题。如大于零表示盈利，等于零表示收支平衡，小于零表示亏损等等。

（三）用于构造一元一次不等式

例1 不等式______的解集是

解：答案不唯一，如，，，，，等等。

（四）用于找关系

例2 若，，试表示和之间的关系。

解：由不等式的性质1，不等式的两边都加上2，可得。由不等式的性质3，不等式的两边都乘以-1，可得。

因此可得。由不等式的性质1，两边都加上，得

故和之间的关系为。

（五）最值问题

例3 设，则的最大值与最小值之差为______。

解：由，得，。

原式

因为， 所以，的最大值为2，最小值为0。

所以原式的最大值为，最小值为其差值为1。

二、不等式性质的三个应用

（一 ）利用不等式性质证明不等式

利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问题一定要从充分理解的基础上，记准不等式的性质并注意在解题中灵活准确地应用。

我们在中学学习的一些不等式的性质以及推论都可以作为证明不等式的主要依据，不过在利用过程中一定要注意不等式的使用范围，切不可盲目利用不等式的性质及推论，否则就会出现错误。另外，在证明过程中大多数题目都是对不等式性质及推论的反用，及对不等式性质及推论的逆向应用。因此，在利用不等式性质证明不等式过程当中一定要熟练掌握性质及推论的双向应用。

（二）利用不等式性质求范围

利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），但这种转化不是等价变形。在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次不等式关系的运算，求得待求的范围，这是解这类题的最有效的方法。

（三）利用不等式性质，探求不等式成立的条件

不等式的性质，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确的理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确的加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。

三、总结

本文通过比较大小，确定范围， 用于构造一元一次不等式， 用于找关系，最值问题，利用不等式性质证明不等式，利用不等式性质求范围，利用不等式性质，探求不等式成立的条件九个方面逐一说明了代数不等式性质在实际问题中的渗透，但是，对于代数不等式性质的应用我们不能单纯的，死搬硬套的去利用。也许有些方法，有些性质适用于某种题型，但是他不可能适用于任何一种题目；也许有些方法在理论上是万能的，但是在实际应用当中可能非常繁琐。所以，我们要具体题型具体对待，具体题目具体对待，选择最合适，最简便的方法来解决问题。这就需要我们在平时的学习和应用当中多做总结，多分析，多交流，多反思，多应用，多渗透。只有这样我们才能游刃有余的利用代数不等式的性质解决我们遇到的实际问题。