突破解三角形中的取值范围问题

□浙江省宁波市李惠利中学 何安旗

解三角形中的取值范围问题是高考的热点之一，它注重与平面几何、函数的值域以及基本不等式等相关知识的交汇融合，重点考查了学生的综合应用能力.这类问题几何要素众多、代数关系多变，往往使学生在几何与代数的互相转换过程中目标不明，常走弯路。我们该如何找准目标，破解变局呢？

要破解变局，先需做好知识准备，在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c

夯实基础之后，我们开启破解之旅：

例1：（宁波市2016届高三上学期期末考试改编）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，周长的最大值。

上例中的求解目标b+c属于边的对称线性运算关系，再来看下面的非对称线性运算的例子：

变式1：（2011年全国卷）在△ABC中，B=60°，AC=则AB+2BC的最大值为________。

解：由正弦定理得：AB=2sin C，BC=2sin A，于是AB+2BC=2sinC+4sin A=2sin（1200-A）+4sin A=5sinA+又因为A∈（00，1200），所以AB+2BC的最大值为

对于已知角与对边情形，采用正弦定理，边化角后转换为关于角的三角函数，是常见的应对策略。那么对于角与邻边，又该如何处理呢？

变式2：在锐角△ABC中，B=600）求AB+2BC的取值范围。

小试牛刀之后，我们再尝试破解更多的变化。

例2：（2013年全国卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=b cos C+c sin B。

（1）求角B的大小；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。

解：（1）由正弦定理得：sin A=sin B cos C+sinC sin B又sin A=sin（B+C）=sin B cos C+sinC cos B，所以sinC sin B=sinC cos B，在△ABC中，sinC≠0，则sin B=cos B，有B=450。

上例的求解目标bc属于边的对称非线性运算关系，再来看下面的非对称非线性运算的例子：

变式4：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，，则a2+c2的取值范围是 ．

解：由余弦定理得：3=a2+c2-ac，∵ a2+c2≥2ac，得∴ a2+c2≤6；另一方面，∵ a＞0，c＞0，∴ ac＞0，∴3=a2+c2-ac＜a2+c2，故a2+c2的取值范围是（3，6］。

上述例子说明，突破解三角形的取值范围问题，主要有两条途径：一是利用正弦定理，进行边化角，转换为三角函数的值域问题；一是利用余弦定理，结合不等式的知识，转换为不等式的综合应用。当然，还需更多的方法来优化战法。

方法二：以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．

由题，设A（-1，0），B（1，0），C（x，y）．因为BC，则AC2=2BC2．

代入坐标，有（x+1）2+y2=2［（x+1）2+y2］，化简得，（x-3）2+y2=8（y≠0）。

事实上，上例中方法一的思路源自于课标教材必修五第20页中，B组第2题海伦公式的推导，方法二源自于课标教材必修二124页中B组第三题求轨迹方程。事实上，只要我们回归课本，从书本中找方法，便可突破包括解三角形中的取值范围等各类变局，迷局。