伪补MS-代数的素理想及同余性质

2018-08-01赵秀兰史永杰

四川轻化工大学学报(自然科学版) 2018年4期

赵秀兰，史永杰

(1.黄河科技学院数理部, 河南郑州450063; 2.汕头大学理学院, 广东汕头515063)

引言

Ockham代数[1]是格与序代数理论的一个重要领域，它是定义在分配格上的一类序代数。布尔代数、de Morgan代数、Stone代数、伪补MS-代数等都是它的子代数，其部分研究成果见文献[1-5]。在泛代数研究领域,研究代数的结构及其特征的方法有很多，其中利用代数的理想和滤子是比较常用的一种，特别是利用不同定义、不同结构的理想和滤子来研究代数结构是一种比较常用的手段。目前，很多学者利用理想和滤子来研究代数的结构及其特征获得了大量成果。例如，在文献[6-9]中,作者在相应的代数类上引入理想与滤子,以核理想与余核滤子为载体刻画相应代数同余结构。文献[10]以假值理想为工具描述了双重伪补代数同余关系。文献[11]给出了格的反软理想新概念，证明 2 个反软理想分别在软集的限制并和“或”运算下仍然是反软理想。文献[12]讨论了BRo代数中的*理想及其诱导的商代数。文献[13,14]利用滤子讨论了Bl代数的性质。素理想也是人们认识了解复杂代数结构的一个工具，利用素理想将代数系统分划为若干块，并可刻画代数同余关系[15-19]。

本文以现有文献理论为基础，将素理想引入到伪补MS-代数上，综合考虑伪补MS-代数的运算特征，论证利用素理想集刻画同余关系的结论，刻画次直不可约的伪补MS-代数的结构。

1预备知识

定义1[1]设(L;∧,∨)是一个格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I总有y∈I，称子格I是格L的理想。

设I是格L的理想，且I≠L，a,b∈L,若a∧b∈I蕴含a∈I或b∈I，称I是格L的素理想。

定义2[2]设(L;∧,∨,0,1)是一个有界分配格，其上赋予一个一元运算o，且满足下列条件：

(1)(∀x∈L)x≤xoo；

(2)(∀x,y∈L)(x∧y)o=xo∧yo；

(3)1o=0。

称(L;∧,∨,o,0,1)为MS代数。

定义3[1,3]一个伪补代数(简称p-代数)是一个代数(L;∧,∨,*,0,1)，它具有一个最小元0及一个映射*:L→L使得x*=max{y∈L|x∧y=0}。

定义4[1,3]设(L;∧,∨,0,1)是一个有界分配格，其上赋予两个一元运算*和o，其中(L;*)是p-代数，(L;°)是MS-代数，并且一元运算*和o满足条件，(x∈L)x*°=x°*，称(L;∧,∨,*,o,0,1)是伪补MS-代数(简称pMS-代数)。

引理1[1,3]设(L;∧,∨,*,o,0,1)是pMS-代数，则有下列结论：

(1)(∀a∈L)ao*o=a*oo=aoo*=a*;

(2)(∀a∈L)a*o*=ao**=a**o=ao;

(3)(∀a∈L)a**=aoo;

(4)(∀a,b∈L)(a∧b)*=a*∨b*。

定义5[1,3]设(L;∧,∨,*,o,0,1)是pMS-代数,θ是L的一个格同余关系,若(x,y)∈θ⟹(x*,y*)∈θ，(f(x),f(y))∈θ，则称θ是L的同余关系。

为了便于说明问题，作如下约定。设L是pMS-代数，L的理想指的是格理想，L的同余关系指的是对∧,∨,*,o具有替换性的等价关系，而L的格同余关系指的是对∧,∨具有替换性的等价关系，并令，Con(L)={θθ为L的同余关系},ConL(L)={θθ为L的格同余关系},P(L)={PP为L的素理想}。

引理2[15]设P∈P(L)，定义L上的二元关系θP：x,y∈L,x≡y(θP)⟺x,y∈P或x,y∈L-P，则θP∈ConL(L)。

引理3[15]设A∈P(L)，定义L上的二元关系θA：x,y∈L，x≡y(θA)当且仅当∀P∈A,x,y∈P或x,y∈L-P，则：(1)θA∈ConL(L)且θA=∧P∈AθP；(2)∀θ∈ConL(L)，存在A∈P(L)，使得θ=θA。

引理4[18]设θ1,θ2∈ConL(L)，若θ1∧θ2≤θP，则θ1≤θP或θ2≤θP。

下面根据伪补MS-代数的运算特征，来探讨伪补MS-代数上素理想的相关性质。

2素理想的性质

定理1设P∈P(L)，定义P*={x∈Lx*∈L-P}，Po={x∈Lxo∈L-P}，则有下列结论：

(1)P*,Po∈P(L)

(3)P*=P**=Poo⊆P，这里P**=(P*)*，

Poo=(Po)o；

(4)Pooo=Po

(5)Po*=P*o=Po

(6)Po**=P*o*=Po*=Po，P*oo=Po*o=Poo=P*。

证明(1)设x,y∈P*，则x*,y*∈L-P，从而有x*∧y*=(x∨y)*∈L-P，x*∨y*=(x∧y)*∈L-P，故x∨y,x∧y∈P*，因此P*为L的子格。

再设a∈L，x∈P*且a≤x，由a*≥x*∉P，可得a*∉P，从而a∈P*，因此P*为L的理想。

令x,y∈L,x∧y∈P*，则(x∧y)*=x*∨y*∉P，从而x*∉P或者y*∉P，所以x∈P*或者y∈P*，于是P*∈P(L)。

同理可证Po∈P(L)。

(3) 先证P*⊆P。

设x∈P*，则x*∉P，由于x∧x*=0∈P且P为素理想，故x∈P，所以得P*⊆P。

再证P*=P***。

由于P*⊆P，由(1)知，P*∈P(L)，将P*⊆P中的P换成P*，即得P**⊆P*。又由P*⊆P，结合(2)可得P**⊇P*。所以P*=P***。

下证P**=Poo。

令x∈P**，故x*∉P*，则必有x**∈P，否则x**∉P，则x*∈P*，此与x*∉P*相互矛盾。由引理1知，在pMS-代数中，xoo=x**∈P，因此xo∉Po，从而x∈Poo，故P**⊆Poo。

同理可证Poo⊆P**。命题即证。

下证Poo⊆P。

设x∈Poo，则xo∈L-Po，从而xoo∈P。又因x≤xoo，于是x∈P，所以Poo⊆P。

综上可得P*=P***=Poo⊆P。

(4) 由(3)知Poo⊆P，由(2)得Pooo⊇Po，再将Poo⊆P中的P换成Po得Pooo⊆Po，因此Pooo=Po。

(5) 先证Po*=P*o。

设x∈Po*，则x*∉Po，因而x*o∈P。由引理1知，在pMS-代数中，xo*=x*o∈P，所以xo∈P*，故x∈P*o，于是有Po*⊆P*o。

设x∈P*o，则xo∉P*，故xo*∈P。由引理1知，在pMS-代数中，x*o=xo*∈P，所以x*∉Po，故x∈Po*，所以P*o⊆Po*。

综上即证Po*=P*o。

下证P*o=Po。

由(3)知P*⊆P，由(2)得P*o⊇Po。再将P*⊆P中的P换成Po得Po*⊆Po。又因Po*=P*o，故P*o=Po。命题(5)得证。

(6) 由(3)和(5)即得(6)。

进一步可得，伪补MS-代数上素理想的下列运算性质。

定理2设P∈P(L)，则有下列结论：

(1) 若x∈Po，则xo∈L-P，x*∈L-Po；

(2) 若x∈P*，则x*∈L-P，xo∈L-Po；

(3) 若x∈L-Po，则xo∈P*，x*∈Po；

(4) 若x∈L-P，则xo∈Po，x*∈P*；

(5) 若x∈P-P*，则xo∈Po，x*∈P*。

证明(1) 设x∈Po，由Po定义得xo∈L-P。由定理1(5)知，Po*=Po，所以x∈Po*，从而x*∈L-Po。

(2) 设x∈P*，由P*定义得x*∈L-P。由定理1(3)知P*=Poo，所以x∈Poo，从而xo∈L-Po。

(3) 若x∈L-Po，即x∈L,x∉Po。由定理1(5)知Po*=P*o=Po，故x∉P*o,x∉Po*,所以xo∈P*，x*∈Po。

(4) 若x∈L-P，即x∈L,x∉P。由引理1知，在pMS-代数中，x≤xoo=x**，又因P是L的素理想，所以xoo=x**∉P，于是xo∈Po，x*∈P*。

(5) 若x∈P-P*，由定理1(3)知P*=Poo，故x∈P,x∉Poo，从而x∈P,xo∈Po。由定理1(3)知P*=P**，故x∈P,x∉P**，于是x∈P,x*∈P*。

定理1和定理2反映了伪补MS-代数上素理想的运算规律，以此为基础，借助素理想来刻画同余关系。

定理3设P∈P(L)，定义L上的二元关系τP:x,y∈L,x≡y(τP)当且仅当{x,y} ⊆Ri(i=1,2,3,4,5,6)，其中R1=Po∩P*，R2=Po∩(P-P*)，R3=Po∩(L-P)，R4=(L-Po) ∩P*，R5=(L-Po)∩(P-P*)，R6=(L-Po)∩ (l-P)，则τP∈Con(L)且τP=θP∧θPo∧θP*。

证明由引理2以及定理1知，τP∈ConL(L)。

下证τP∈Con(L)。设x,y∈L,x≡y(τP)，由定理1和定理2可推出素理想同余关系如表1所示。