变截面涡旋膨胀机的数学模型及试验研究

彭 斌，张朋成

(兰州理工大学机电工程学院，甘肃 兰州 730050)

涡旋膨胀机是一种借助于容积变化来实现气体膨胀的新型能量转换装置，具有结构简单、零部件少、质量小等优点，目前大量用于制冷、低品位余热回收等领域，但其转换效率相对较低的问题也一直困扰着研究界和工业应用领域[1-2]。

近年来关于涡旋膨胀机的研究主要集中在几何型线、动力特性、热力特性、密封和泄漏以及有机朗肯循环涡旋发电系统的性能研究几个方面[3]。Bush等[4]对组合涡旋型线进行了详细深入的分析，提出了节曲线的概念，并详细阐述了通用涡旋型线的解析式方程；兰州理工大学的刘振全等[5]分析了双头涡旋齿涡旋压缩机的气体力情况，并给出了数学解析式；浙江大学的陈波等[6]对涡旋膨胀机的性能作了系统性的分析，重新定义了涡旋膨胀机的特定参数，对涡旋膨胀机的膨胀过程进行了深入的理论分析和初步模拟，分析了涡旋膨胀机的热力特性并进行了试验研究；西安交通大学的杨骅等[7]全面分析了涡旋压缩机的泄漏情况，并对比了4种切向泄漏模型和2种径向泄漏模型的优缺点，指出了涡旋压缩机泄漏研究的方向；上海交通大学的顾伟等[8]建立了以异丁烷为试验工质，净输出功率最大为0.74kW的有机朗肯循环涡旋膨胀机发电系统，得出变频控制下工质泵存在最佳频率使系统的输出功率最大和存在最佳蒸发压力使系统的第一定律效率最高。根据“十三五”生态环境保护规划的要求，加快补齐生态环境短板是当前核心任务之一。其中充分利用好废弃的余热资源就是实现节能减排的一个重要途径和方法。膨胀机作为有机朗肯循环发电系统的核心设备，直接影响整个系统的性能和效率，因此开发一款高效率的膨胀机具有非常重要的现实意义[9-11]。

1 型线方程

根据共轭曲线啮合原理，选用圆渐开线Ⅰ、高次曲线、圆渐开线Ⅱ作为基线，齿头部分采用双圆弧加过渡直线来进行修正。型线方程如下：

(1)

式中：θ为主轴转角。

(2)

3)外圈高次曲线(θ∈(2.5π,4.5π])：

(3)

其中：

Rg=C1+2C2(θ-0.5π)+3C3(θ-0.5π)2

(4)

Rs=C0+C1(θ-0.5π)+C2(θ-0.5π)2+C3(θ-0.5π)3

(5)

式中：Rg为任意渐开线基圆半径；Rs为展弦；C0，C1，C2，C3为常数。C0，C1，C2，C3根据下列边界条件求解：

(6)

式中：a为圆渐开线基圆半径。计算得：C0=114.660 1，C1=-38.235 4，C2=4.978 9，C3=-0.176 1。

4)内圈高次曲线(θ∈(2.5π,4.5π])：

(7)

5)外圈圆渐开线Ⅱ(θ∈(6.5π,8.5π]),型线方程同式(1)。

6)内圈圆渐开线Ⅱ(θ∈(6.5π,7.5π]),型线方程同式(2)。

7)修正大圆弧(θ∈(-0.646,1.047])：

(8)

8)修正小圆弧(θ∈(2.566,4.136])：

(9)

9)过渡直线方程(θ∈(0.980,3.524])：

(10)

涡旋型线示意图如图1所示。

图1 涡旋型线示意图

文献[12]比较了用积分法和等距法两种方法计算造成的误差，得出法向等距法误差比积分法误差小，更接近真实样机的结论。具体结论为：法向等距法计算结果与真实样机相关数据相对误差最大为8.76%，而积分法计算结果与真实样机相关数据相对误差最大为15.95%。因此本文采用法向等距法计算容积。

2 热力学模型

基于能量守恒方程、质量守恒方程和热力学第一定律，建立变截面涡旋膨胀机的热力学方程。采用控制变量的方法，对变截面涡旋膨胀机整个膨胀过程进行热力学分析[13]。在分析整个膨胀过程之前，提出以下假设：

1)变截面涡旋膨胀机的气体工质为理想气体，比热容恒定不变；

2)同一个工作腔内的气体工质状态参数相同；

3)不考虑气体的势能和动能，并忽略气体工质的流动损失；

4)整个工作过程中，动静涡旋盘不发生受力变形和受热变形。

根据以上假设和能量守恒方程，控制容积内的气体工质：

(11)

根据质量守恒方程得到：

(12)

式中：U为内能；Q为热量；W为做功；hin为流入的气体的比焓；hout为流出的气体的比焓；min为流入的气体工质的质量，为正值；mout为流出的气体工质的质量，为负值；m为气体质量。在整个膨胀过程中，气体工质吸收热量，Q为正值；气体工质在膨胀时对外做功，W为正值。因为假设气体工质为理想气体状态，所以可得到热力学方程关系式：

(13)

式中：cV为气体恒定容积比热容；P为气体压力；V为工作腔容积；R为气体常数；T为气体温度；h为气体的比焓；cP为气体恒定压力比热容；k为气体的比热容比；D为当量直径。

将式(13)代入式(11)中，可得到：

(14)

式中：Tin为流入的气体的温度；Tout为流出的气体的温度。

式(14)可以写成：

(15)

又由于

(16)

得到变截面涡旋膨胀机工作腔内气体温度随主轴转角的变化为：

(17)

式中：ω为变截面涡旋膨胀机的角速度。

以上给出的是热力学模型的一般形式，在具体求解时，进出口传热采用Dittus-Boelter公式求解；工作腔传热采用螺旋板换热器模型求解[14-15]。

3 气体力模型

涡旋膨胀机主要靠高压气体工质推动动涡旋盘转动，对外膨胀做功[16]。动涡旋盘上受到的气体力可分为径向气体力Fr、轴向气体力Fa和切向气体力Ft。切向气体力Ft是推动动涡旋盘转动的作用力，进而对外输出转矩做功。本文仅对切向气体力Ft做详细分析。

图2 动涡旋盘切向气体力受力示意图Ⅰ

①吸气腔。

(18)

Ft0=hzRb(π-2θ)P0

(19)

式中：hz为涡旋齿齿高；P0为进气压力，也是吸气腔的压力；Rb为基圆半径；Ror为偏心半径；Ft0为吸气腔的切向气体力。

②第一膨胀腔。

(20)

(21)

式中：P1为第一膨胀腔的压力；Ft1为第一膨胀腔的切向气体力。

③第二膨胀腔。

(22)

(23)

式中：P2为第二膨胀腔的压力；Ft2为第二膨胀腔的切向气体力。

总的切向气体力：

Ft=Ft0+Ft1+Ft2

(24)

①吸气腔。

(25)

Ft0=hzRb(5π-2θ)P0

(26)

图3 动涡旋盘切向气体力受力示意图Ⅱ

②第一膨胀腔。

(27)

Ft1的计算公式同式(21)。

总的切向气体力：

Ft=Ft0+Ft1

(28)

变截面涡旋膨胀机主轴转动，对外输出的切向力矩可由式(29)算得。

Mt=FtRor

(29)

变截面涡旋膨胀机输出功率的算式如下：

W=Mtωη

(30)

式中：Mt为切向力矩；η为摩擦损失效率。

4 模拟求解

根据上述模型的关系式，运用MATLAB、Fortran软件进行编程，求解出工作腔内容积、压力、温度和输出功率等参数随主轴转角的变化规律。模拟运行工况：膨胀机进口压力为0.700 0MPa；膨胀机进口温度为293.0K。

图4所示是变截面涡旋膨胀机的容积变化曲线示意图。从图4可以看出：当主轴转角θ∈(θ*,2π+θ*](即吸气腔和第一膨胀腔)时，容积随主轴转角增大而增大，且增大的速度逐渐增大；主轴转角θ∈(4π+θ*,5π](即第二膨胀腔)时，容积随主轴转角增大而增大，但增大的速度逐渐减小；当主轴转角转到5π时，开始排气，因为排气口是逐渐打开的，容积持续增大，直到排气口完全打开，容积开始减小，且减小速度先增大后减小。

图5所示是假设进口压力为0.700 0MPa时，压力随主轴转角的变化曲线。当主轴转角θ∈(θ*,2π+θ*](即吸气腔)时，压力为0.700 0MPa，吸气完成，工作腔闭合，开始膨胀，压力逐渐降低。在理想绝热状态，进口压力为0.700 0MPa，出口压力为0.156 4MPa，理论膨胀比为4.476；考虑到传热、泄漏等因素，模拟膨胀状态，进口压力为0.700 0MPa，出口压力为0.184 4MPa，模拟膨胀比为3.790。两者出口压力之差为0.028 0MPa，模拟膨胀状态的膨胀比是理论绝热状态的0.85倍。

图5 压力随主轴转角变化曲线

图6所示是模拟运行工况下，变截面涡旋膨胀机进口压力为0.700 0MPa时，输出功率随主轴转角变化曲线(一个周期)。图中低谷为开始吸气(也是吸气完成时刻)的位置。输出功率最大为425.5W，最小为274.3W，平均功率为338.0W。

图6 输出功率随主轴转角变化曲线

图7所示是模拟运行工况下，变截面涡旋膨胀机温度随主轴转角变化曲线。假设进气温度为293.0K，考虑到传热、泄漏等因素，出口温度为275.3K，低于外界温度。

图7 温度随主轴转角变化曲线

5 试验验证

测试平台如图8所示，储气罐内存有高压气体，由一台大功率压缩机提供高压气源。压力控制器可调节进口压力，变化范围为0.300 0MPa～0.700 0MPa，高压气体推动动涡旋盘做周期性运动，带动与膨胀机相连的三相发电机进行发电。膨胀完毕的气体，排到外界环境中。图中压力传感器和温度传感器安装在膨胀机的进出口处，测得进出口压力、温度；输出功率由三相发电机输出的电压、电流值求得。

图8 测试平台原理图

图9展示了一部分试验设备，分别为变截面涡旋膨胀机、三相发电机、压力传感器、流量计、电压电流表、负载等。

图9 试验设备

图10为试验样机的排气压力随进气压力变化示意图，排气压力随着进气压力的逐渐增大而增大。进气压力为0.300 0MPa时，排气压力为0.110 0MPa，膨胀比最小(2.73)；进气压力为0.700 0MPa时，排气压力为0.210 0MPa，膨胀比最大(3.34)。模拟进气压力为0.700 0MPa时，排气压力为0.190 0MPa，膨胀比为3.79。试验测得的排气压力与模拟时的排气压力相差0.020 0MPa，试验测得的膨胀比是模拟时的0.89倍，相差11%，主要是因为波纹管之间的连接处有泄漏，但这是很难避免的。试验结果证明模型基本正确。

图10 排气压力随进气压力变化示意图

图11为试验样机的输出功率随进气压力变化示意图，输出功率随着进气压力的逐渐增大而增大。进气压力为0.700 0MPa时，输出功率最大为286W。模拟进气压力为0.700 0MPa时，输出功率为338W。试验测得的输出功率与模拟时的输出功率相差52W，相差18.2%，其原因主要是三相发电机的发电效率不能达到100%。试验结果证明模型基本正确。

图11 输出功率随进气压力变化示意图

图12为试验样机的排气温度随进气压力变化示意图(进口温度为293.0K)，排气温度随着进气压力的逐渐增大而减小。进气压力在0.3MPa时，排气温度最高，为284.0K；进气压力为0.700 0MPa时，排气温度最低，为277.0K。模拟进气压力0.700 0MPa时，排气温度为275.3K。试验测得的排气温度与模拟时的排气温度相差1.7K，与模拟工况基本吻合，证明模型基本正确。

6 结束语

本文提出了一种变截面涡旋膨胀机模型，并开发试验样机对模型的正确性进行了验证，对优化涡旋膨胀机有一定的指导作用。但在经济成本、批量化制造等方面未作考虑，要真正在实践中应用本文成果，需对经济成本核算、工艺BOM搭建等方面做进一步的分析研究。

图12 排气温度随进气压力变化示意图