一题多解巧用正余弦定理

尚祎程

【摘 要】正、余弦定理是在三角形解决边角关系问题中的重要定理。本文从一道习题出发，讨论了应用正、余弦定理的不同解法，有效地扩宽了解题思路，为高中数学学习提供经验和借鉴。

【关键词】正弦定理；余弦定理；一题多解

中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）09-0176-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.09.084

Multiple solutions to a problem using the sine cosine theorem

SHANG Yi-cheng

（The First Middle School of Tai'an City， Shandong Province， Taian 271000， Shandong， China）

【Abstract】Sine and cosine theorems are important theorems for solving the problems of relationship between edges and corners in a triangle. This paper， starting from an exercise， discusses the different solutions using positive and cosine theorems， which effectively widens the idea of solving the problem and provides experience and reference for high school mathematics learning.

【Key words】Sine theorem； Cosine theorem； Multi-answer question

正、余弦定理在解三角形问题时可以将已知条件统一为边或角的关系，通过推导得到相应结果。在应用正、余弦定理解题时，根据条件和结论构造不同边角关系形式，能有效地找到解决问题的切入点，从而获得不同的解法。

下面给出一个解题实例。

例：已知ΔABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且a2=b（b+c），求证A=2B。

解法一：通过已知条件边的等式，运用正弦定理，构造两角的三角函数关系，寻找数量对应关系。

因为，由正弦定理，得到，根据要证明的结论，观察等式，若 ，结论得以证明。

由余弦定理，cosB=，由已知a2=b（b+c），可得

cosB===

符合要求，因为三角形内角在（0，π），存在A=2B或A=π-2B，根据A+B+C=π及已知条件，均可得A=2B，结论得证。

解法二：已知条件中，只含有边的关系，无角度关系，通过正弦定理转化为三角函数关系，设法消掉无关项，证明结论。

对已知条件a2=b（b+c）进行变形，变为a2-b2=bc，应用正弦定理，

可得sin2A-sin2B=sinBsinC，因为C=π-（A+B），sinC=sin（A+B）

上式变为sin2A-sin2B=sinBsin（A+B），对平方差进行分解

（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinBsin（A+B），再进行和差化积，

2sincos×2sincos=sinBsin（A+B）由倍角公式可得，

sin（A-B）sin（A+B）=sinBsin（A+B）

等式化简，得sin（A-B）=sinB，因为三角形内角在（0，π），存在A-B=B和A=π-（A-B），分类讨论，可得A=2B，结论得证。

解法三：由结论通过公式变形，得到边的关系，结合已知，应用正、余弦定理，证明结论。

由结论A=2B可得sinA=2sinBcosB，根据正弦定理，得a=2bcosB，故选择上式作为证明切入点。

由已知a2=b（b+c），结合余弦定理，可得cosB=，

则2bcosB=2b=，再根据已知得2bcosB=a

应用正弦定理得，2sinBcosB=sinA，因为三角形内角在（0，π），讨论如解法一，故A=2B，结论得证。

解法一和解法三虽然形式上相似，但解题切入点不同：解法一利用了边化角的方式，解法三采用是角化边的方法。本例题灵活应用了正、余弦定理，通过对已知条件和结论的恒等变形，形成不同的解题方法。

通過上述例题，可以发现，对于三角形中涉及的边、角问题，根据所求结论和已知条件，选择适合的形式进行边、角转换，寻找对应关系，能有效地解决问题。