基于PARETO模型的失独家庭幸福感之研究

秦露琪　刘婷　龙欣　王仙云

【摘 要】影响失独家庭幸福感的主要因素包括：失独家庭参加文娱活动情况、失独家庭经济状况以及希望政府采取的措施， 其中政府采取的措施为可控因素. 本文采用改进的PARETO模型， 运用贝尔曼原理进行求解， 从而得到政府采取措施的定量数据。

【关键词】失独家庭；改进的PARETO模型；贝尔曼原理

中图分类号： C924.21 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）09-0045-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.09.020

Research on the Sense of Happiness of Family Members Who Left Sole Families Based on PARETO Model

QIN Lu-qi LIU Ting LONG Xin WANG Xian-yun

（College of Mathematics and Statistics， Jishou University， Jishou 416000， China）

【Abstract】There are several important factors that affect the happiness of the family with the loss of independence， including the family members participation in recreational activities， the economic situation of the families and the measures that the government hopes will be taken， where the measures taken by the government are controllable factors. In this paper， we first establish the improved PARETO model and then get the quantitative measures of the measures taken by the government by using the Bellmans principle.

【Key words】Family loss of independence； The improved PARETO model； Bellmans principle

0 引言

近年来， 随着失独家庭的增加， 政府对于失独家庭的社会救助责任将会越来越重要. 因此， 从定量的角度来研究政府对失独家庭所需要采取的具体措施有着重要的理论意义与应用价值.大量学者针对政府对失独家庭采取的措施进行了深入研究[1-7]， 例如我国学者王丽君指出需加强经济救济， 逐步提高失独老人的救助扶助标准[1]；李三梅指出要完善失独家庭的制度保障， 重視失独家庭老年人心理和精神关照等方面以及应关注失独家庭养老对策的构建与完善[2]；马瑄针对失独老人的经济状况、精神慰藉状况、社会关注情况等问题进行分析， 从政府、社会、社区等方面提出相应对策[3]；本文作者在文[4]中研究了影响失独家庭幸福感的几大重要因素分别为： 失独家庭参加文娱活动， 失独家庭经济状况以及希望政府采取的措施， 其中失独家庭希望政府采取的措施是可以做出相应的改变和调整的。

注意到上述文献大多采取的是定性分析. 而本文则从失独家庭幸福感这一视角出发，采用改进的PARETO模型， 运用贝尔曼原理进行求解， 对政府采取的措施这一影响因素进行定定分析， 进而提出更为合理可行的建议.

1 PARETO改进模型

对于失独家庭，我们要以增加失独家庭的幸福感并且减少财政负担为目标，将核心家庭分为两种，即失独家庭（失去独生子女）和健全家庭（核心家庭完整）. 失独家庭有政府的特殊家庭补助补助， 健全家庭没有特殊补助， 生活费用主要靠自己的工作收入.假设t期健全家庭个数为Lt， 失独家庭个数为Rt，t，期核心家庭与t+1期失独家庭个数相同.因此Lt=Rt+1.假设政府对健全家庭的老政策和新政策在家庭t期平均收入水平保持不变， 记为Dt， 政府原来对失独家庭的平均特殊补助和新政策下给予失独家庭的特殊补助分别为Et和Ft， 政府每月支出在旧政策和新政策下分别为Gt和Ht， 其中t时期健全家庭的实际收入为It. 设人口增长率为n， 其中健全家庭收入增长率为g. 旧政策下t时期政府特殊补助对失独家庭的补助与普通家庭收入的比例为λ， 即λDt=Et按照我国政府现有特殊家庭补助补助，t期政府支出为：Gt=RtEt由于健全家庭自身收入增长率为g，t+1期失独家庭平均特殊补助为：

Et+1=λDt+1=λ（1+g）Dt=（1+g）Et

同年， 有子女家庭增长率为n，t+1期政府失独家庭的补助补助支出为：

Gt+1=Rt+1It+1=RtEt（1+n）（1+g）

假设t期健全家庭年纳税费率为αt，则t期健全家庭个数缴费为αtDt，0期失独家庭收到政府补助， 即I0=E0，t期政府为每个失独家庭支出的基本保障金为Bt， 所以政府对失独家庭的总支出补助为：

Ht=αtLtDt+RtBt

家庭的t+1期年收入费率不变， 但政府对家庭的补助基数上升， 家庭缴费为：

αtDt+1=αtDt（1+g）

此时，t期健全家庭变为失独家庭， 其家庭收入由两部分组成：政府给予失独家庭特殊补助和原本是健全家庭的年金， 则t+1期失独家庭领取的补助为：

Ft+1=Bt+1+2αtDt（1+J）（1）

其中， J为年金收益率. 收入效用函数为：

U=ln（It）+

θ为t+1期收入的贴现补偿系数. 要保障改变了制度前后家庭的实际效率值没有差异， 即有：

ln（Dt）+=ln[D（1-α）]+

整理可得：

Ft+1=（1-αt）-（1+θ）Et+1=（1-αt）-（1+θ）λDt+1（2）

由（1）式和（2）式整理得：

Bt+1=[（1-α）-（1+θ）λ（1+g）-2αt（1+J）]Dt（3）

在保持家庭的自身收入不变的情况下， 想要求政府特殊家庭补贴改制变量的取值， 使长期政府支出最小， 可以建立目标函数：

Min（αLD+RB）/（1+r）

其中， r为财务开销的贴现率， 可将其视为存款积攒的基本利率. 整理可得：

MinL0βtαD+

β=（4）

2 贝尔曼最优性原理

我们采用贝尔曼最优性原理对问题求解，把Bt当做状态变量，αt和Dt当成控制变量，（4）式则为这三个变量的转移方程. 建立Bellman[5]方程：

V（Bt）=min{u（αt，Dt，Bt）+βV（Bt+1）}

u（αt，Dt，Bt）=αtDt+（5）

由贝尔曼最优原理，可知Bellman公式[6]为：

一阶条件为：

（7）

由（6）式与（7）式可以解得：

整理可得到：

（8）式便是满足政府转变对失独家庭政策前后消费者效率值不变的情况下， 形成政府持久开支的最小目标是αt，的路线. 将（8）式代入（3）式得到政府基础补助金支出的最优路线：

改制后t期政府的支出为：

Ht=αtLtDt+BtRt=Rt[αt（1+n）Dt+Bt]

t+1期政府支出为：

Ht+1=Rt+1[αt+1（1+n）Dt+1+Bt+1]（10）

将（9）式代入（10）式中得：

政府对失独家庭补助改制后，完整家庭补助效用不变，t期政府支出由原来的Ht变为Gtδ，

从（11）式可以看出， 政府对失独家庭补助改革后， 支出增减， 主要由（11）式中多个参数改革后， 政府支出Ht和有子女家庭增長率n、家庭自身工资收入增长率g正相关， 与政府补助补助收益率R负相关， 就是家庭增长率得越快， 家庭自身收入增长率越快， 则政府对失独家庭补助方面支出就越高， 家庭收益率越高， 政府支出就越低. 失独家庭补助改革后， 如果实现δ<1， 那么就实现了家庭收入效用不变、政府负担减少的帕累托改进目标. 失独家庭补助改革后能够实现帕累托改进目标. 失独家庭补助改革后能够实现帕累托改进的条件[7]即：

对这展望未来下期， 即对于t=1， 假定家庭个体增长率n每年为0. 02%， 每期自身收入增长率为1%， 假定1期后收入的政府补贴率为θ=0.7， 而政府特殊补助对失独家庭的补助与普通家庭补助的比例λ是可控变量且每期失独家庭补助收益率R从0.1%到15%的范围波动，我们可以用MATLAB计算出不同的下政府的支出， 从而得出一个临界值. 由计算结果可知， 当失独家庭补助收益率R=0.1410且λ=1.1时政府支出为原来的0.8027倍，且不影响普通家庭的利益，即：Ht=0.8027Gt所以我们要尽量减少政府总支出， 增加对失独家庭的特殊补贴， 从而可增加失独家庭的富裕感方面来增加失独家庭的幸福感。

【参考文献】

[1]王丽君.解决失独家庭养老问题的几点建议[N].中国人口报，2018-04-06（003）.

[2]李三梅，刘姝名.失独家庭养老方式的创新探讨[J].时代金融，2018（05）：269-270.

[3]马瑄，解春红，曲思冰.失独家庭养老问题及对策分析[J].四川劳动保障，2018（S1）：54-55.

[4]秦露琪，刘婷，龙欣，王仙云.基于熵权法的失独家庭幸福感之研究[J].科技视界， 2018（02）：16-17+5.

[5]张大为.基于贝尔曼方程的对不确定投资的改进[J].才智， 2010（29）：36-37.

[6]罗远诠.关于最佳控制贝尔曼方程解的连续可微性[J].数学研究与评论，1986（03）：89-92.

[7]安宇宏.帕累托改进与帕累托最优[J].宏观经济管理， 2013（03）：76.