高中数学立体几何解题技巧管窥

福建省莆田市第十中学 范彩双

立体几何属于高中数学体系中的重要构成部分，由于知识内容较为抽象，理解起来难度较大，是学习难点之一。在高中数学教学中，如何有效解答立体几何问题是师生共同关注的重点，该类数学题的主要核心是夹角、平行、垂直和距离等之间的关系，且根据相应的概念与定理对各种几何图形进行分割和使用，这对学生的基础知识掌握和解题技巧的应用要求较高。

一、熟练掌握立体几何知识，奠定坚实解题基础

从高中数学立体几何知识本身来看并不复杂，但如果把其他数学知识和几何问题结合在一起，问题就变得复杂起来。在高中数学立体几何教学中，要想帮助学生掌握更多的解题技巧，教师首先需注重理论知识的教学，要求他们做到熟练掌握，包括有关定理、定义和概念等，并了解立体几何知识点之间的内在联系，逐步构建完整的立体几何知识体系，然后再将其他数学知识和立体几相结合，掌握复杂立体几何问题的解题技巧。学生通过对立体几何知识的不断积累，以理解为基础增强记忆，使他们在实际解题中熟练应用。

例如，在高中数学立体几何大题中，通常会出现面面角、线面角和线线角的求解方法。下面针对线面角的求解做具体分析：第一，需要了解线面角的范围，以免在解答过程中出现多个答案，导致解题错误现象的出现。第二，学生需要熟悉记忆有关线面角的解题公式，线面角的解题方程通常有两种，其一是借助向量的方法建立一个三维直角坐标系，把需要求的线段以向量的方法表示出来，之后采用线面角的求解方法与向量法的化简技巧来解答。其二是采用立体几何思维找出图形中线面角的关系，计算出所需线段的长度，结合面面角的求解方式来解答。

二、结合立体几何知识特点，发展学生思维空间

在学习高中立体几何知识过程中，教师需帮助学生建立空间思维，这是解题的关键和根本，他们利用自身的空间思维可以快速了解立体几何题目中的题干，为解题做准备。当学生形成一定的空间思维之后，他们在解答立体几何问题时，可以在原立体几何图形中添加适当的辅助线，将求解目标变得更清晰。在高中立体几何教学中，学生思维空间的建立，仅靠理论知识的学习是难以形成的，且短时间内也很难形成，教师可结合立体几何知识特点，引导他们认真观察与思考生活中的立体图形，逐步发展和提高其空间思维。

比如，在解答立体几何题目时，通常会遇到部分特殊的立体几何题，题干中涉及一些立体几何图形。如果学生的思维空间能力较弱，他们很难从中确定正确的解题思路，解题方法更是难以找到。此时，教师可组织学生结合生活中的类似图形进行对比，亲自制作一个简易样式的立体几何图形，将抽象化的数学问题变得形象化，帮助他们找到合适的解题方法，使其思维空间得到培养与提升，而且在制作简易立体几何图形时，还能够不断增强他们对特殊立体几何体图形性质的认知与记忆。此外，教师可借助多媒体技术的优势培养学生的思维空间，在互联网平台上搜集和整理一些有关立体几何图形翻转的动态图或视频，让他们在观察和思考中不断强化自身的思维空间。如此，通过制作简易立体几何图形和研究多媒体资源，学生在观察中思维得以发散，思维空间得以提高。

三、丰富立体几何练习解答，锻炼学生解题技巧

在高中数学立体几何教学中，为帮助学生更好地掌握解题技巧，离不开大量立体几何类习题的训练，通过解题经验的积累和知识的实际应用，使其在实际解题中掌握更多的技巧，且愈加熟练。当然，高中数学教师在开展立体几何习题训练活动时，不能是纯粹地为了练习而练习，在选择习题时要注重质量而不是数量，引领学生不断总结相应的解题方法，通过长时间的积累逐步提升他们的解题能力。在解答立体几何题目时，要用到多种数学思想方法，如函数思想、空间思想和化曲为直思想等以及夹角和距离的应用。

在这里，以函数思想在立体几何解题中的应用为例，如图所示，PA与圆O所在的平面垂直，圆O直径是AB，C是圆周上的一点，假如∠BAC＝α，PA＝PB＝2r，那么异面直线PB与AC间的距离是什么？

解题分析：第一步分析直线AC与PB之间的距离，尽量求出直线PB上任何一点到直线AC之间的最短距离，且设定变量建立相应的目标函数，借此求出目标函数的最小值。首先在直线PB上取任意一点M，确保MD与AC垂直于点D，且MH与AB垂直于点H。接着，设MH＝x，MH与平面ABC垂直，AC⊥HD。则有MD2＝x2＋[（2rx）sinα]2＝（sin2α＋1）x2－4rxsin2α＋4r2sin2α＝（sin2α＋1）[x－2rsin2α/（1＋sin2α）]2＋4r2sin2α/（1 ＋ sin2α）。当 x＝2rsin2α/（1＋sin2α）时，MD最小，能够求得两异面直线之间的距离。在解答该题目时，关键是把两条异面直线之间的距离转换为异面直线上两点之间的距离，进而求最小值。

总之，高中数学立体几何问题是一种复杂多变的题型，在解题过程中需要借助函数、向量等知识，并详细分析几何图形中的常见关系，以坚实的理论知识为基础、良好的空间思维能力作支撑，以此为导向逐步提高学生的立体几何解题水平。