有关椭圆参数方程具体应用的一点思考

广西来宾高级中学 罗黄玉

椭圆是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点，也是整个高中数学的一大常考题型。在有关椭圆参数方程的试题中，一个基本的思路是把参数方程化为普通方程，然后使用我们熟悉的平面解析几何知识解决问题。但是，当问题涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，如果直接利用椭圆的普通方程去解决问题，会导致计算烦琐、耗时费力，甚至陷入困境。这时候可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，把动点的坐标用椭圆的参数方程表示出来，将其转化为三角函数问题进行求解，利用三角函数的有界性，可以方便快捷地解决问题。本人通过对这几年的高考题总结归纳，浅谈椭圆的参数方程在最值问题、定值问题、轨迹问题中的具体运用。

一、最值问题

对有关椭圆的二元函数最值问题、距离的最值问题，都可以用椭圆的参数方程转化成三角函数的最值问题，利用三角函数的有界性解决。

例2 【2017新课标I】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为直线l的参数方程为若C上的点到l的距离的最大值为 ，求a。

解：直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故C上的点M(3cosθ，sinθ)到 l的距离为：

二、轨迹问题

对于涉及椭圆上的点的轨迹方程，运用椭圆参数方程表示动点代入关系式，得动点轨迹的参数方程，再把动点轨迹的参数方程消参化为普通方程即可。

三、定值问题

对有关椭圆上的点的斜率问题，一般方法是把椭圆上的点用参数方程表示，把问题转化成三角函数问题，利用三角函数的方法加以整理。

又M,N两点关于原点对称，

由此得证。

通过对以上具体实例的探究，我们发现，利用椭圆的参数方程解决有关最值问题、轨迹问题和定值证明问题，可以把问题转化成我们所熟悉的三角函数问题来解决，不仅能够避免纷繁复杂的计算和化简，而且更加高效和快捷。因此，掌握好椭圆的参数方程并能灵活运用，带给我们的不仅仅是一种方式或方法，更是一种意识、一种思想，拓宽了我们的思考问题、解决问题的渠道，同时为我们解决有关圆锥曲线的问题提供了参考。