微积分教学中学生易混淆的几个概念
2018-07-26李娜
【摘要】微积分中极限、连续、导数这些基本概念既有区别又有联系，学生在学习过程中有一定困难，常常混淆它们的区别与联系。本文对极限、连续、导数这些基本概念的区别与联系进行分析总结，使概念之间的内在联系更加清晰，从而使学生对这些基本概念有更深入的理解与认识。
【关键词】极限 连续 导数 概念的区别与联系 几何解释
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）01-0297-02
微积分是高校经管类专业一门专业基础课程，对后续数学课程和专业课程的学习有着直接的影响，同时对学生考研或深造也起着重要作用.在微积分教学中，由于经管类学生大部分是文科生，数学基础薄弱，同时微积分课程具有抽象性、严谨性、逻辑性的特点，因此学生在学习过程中通常会遇到困难，容易混淆函数的极限、连续、导数等基本概念.本文通过分析总结函数的极限、连续、导数等基本概念的区别与联系，使概念之间的内在联系更加清晰，从而使学生对这些基本概念有更深入的理解与认识，为学习多元函数基本概念打下良好的基础.
一、函数的极限、连续、导数概念
函数是微积分的主要研究对象，极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法.因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.
1.函数的极限
设函数在点的某去心邻域内有定义，为常数.如果给定任意小的正数，总存在正数，使得当时，恒有，则称常数为函数当趋向于时的极限。
记作：
或。
注：函数的极限是研究当自变量在某个变化过程中函数的变化趋势.函数极限与在点处是否有定义无关，但与任意给定的正数有关[1]28-30。
2.函数的连续
设函数在点的某一邻域内有定义.如果当自变量的增量趋于零时，函数对应的增量也趋于零，即：
或，
那么就称函数在点处连续，称为的连续点。
注：由上述定义可知，函数在一点连续的本质特征是：自变量变化很小时，对应的函数值的变化也很小。
设函数在点的某一邻域内有定义。如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点处连续。
上述定义表明，函数在某点连续与函数在某点的极限，既有联系，又有区别.函数在某点的极限存在不能保证在该点连续，同时要求极限值等于该点函数值，才能保证在该点连续[2]68-69。
3.函数的导数
设在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量，相应地，函数取得增量，如果时，极限：
导数概念是以极限概念为基础而建立的新概念，它与极限有一定联系但又不同于极限.导数描述的是函数变化率问题，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度，具体来讲就是当自变量增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限[2]85-89。
由连续与导数的定义可知，在点处可导，则它在处连续；函数在某点连续，但在该点不一定可导。
在学习微积分课程时，学生常常不能深入理解导数研究的问题以及导数的本质，将函数极限、连续与导数概念混淆在一起.函數在某点的极限存在不能保证在该点连续；函数在某点连续不能保证在该点一定可导.函数在某点可导要求条件最高，其次函数在某点连续，最后函数在某点的极限存在要求条件最低。
二、左、右极限，左、右连续，左、右导数
1.左、右极限
函数在处可导的充分必要条件是函数在处的左、右导数均存在且相等[3]81-83。
从以上定义可知，函数在某点左、右极限存在不能保证函数在某点左、右连续，函数在某点左、右连续不能保证函数在某点左、右导数存在.学生常常把左、右极限与左、右连续混淆，不能很好的掌握左、右极限与左、右连续的区别和联系，对左、右导数理解的不透彻。
三、函数的极限、连续、导数的几何解释
1.函数极限的几何解释
任意给定一正数，作平行于轴的两条直线和 .根据定义，对于任意给定的正数（不论多么小），存在点的一个去心邻域，当的图形上的点的横坐标落在该邻域内时，这些点对应的纵坐标落在带形区域内。
2.函数连续的几何解释
若函数连续，则曲线的图形是一条连续不间断的曲线.
3.导数的几何解释
若函数在处可导，则就是曲线在点处的切线的斜率，即，
其中是切线的倾角[1]79-80。
极限、连续、导数是微积分中最基本的概念，也是学生必须熟练掌握的概念.通过以上这些概念的分析与总结，进一步强化了概念之间的内在联系，使学生对极限、连续、导数概念及其内在联系有更深入的理解与认识。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：28-30，79-80.
[2]吴赣昌.微积分（经管类第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011：68-69，85-89.
[3]龚德恩，范培华.微积分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008：63-64，81-83.
作者简介：
李娜（1984-），女，河南商丘人，理学硕士，讲师，主要从事微分方程数值解研究。
