解三角函数最值问题窥见数学素养

江苏省海门中等专业学校 冯 霞

提高每个对口单招学生的数学素养是数学教学的最终目的，教学中要加强思维训练，指导学生及时总结归纳，让学生实现认识飞跃。在三角函数的知识体系当中所包含的解题方法、公式等相对较多，这就为单招学生题目的解答提供了多元化选择。同时，由于三角函数所覆盖的知识点较多，这也增加了解题的难度。在对最值问题进行解答过程中，不仅需要运用三角函数当中的和差公式，同时还需要将方程思想、数形结合思想融入其中。

一、化简成为一个角的三角函数

在三角函数的部分题目当中，给定的已知条件或者需要解答的问题含有两个甚至两个以上角度的三角函数。此时，在对其进行计算时，解答过程较为烦琐，计算量相对较大，出现错误的几率也成倍增加。因此，将题目当中不同角度的三角函数值化为一个角的三角函数值，不但能够降低解答难度，同时还能够较为快速地得出答案。一般而言，在对给定角的三角函数进行转化时，常用的方法为根据三角形内角和或者其他角度之间的关系进行。

例1：“在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝（2b＋c）sin B＋（2c＋b）sin C。（1）求A的大小；（2）求sin B＋sin C的最大值。”由于在第二个小问题中包含了两个角度，且在第一小题当中求出A=120°，因此在解答过程中需要根据“三角形内角和为180°”这一定理，得出B+C=60°，将角C以60°-B的形式代入，进而达到化成一个角的三角函数的目的。具体解答方法如下：（1）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故cos A＝，所以A＝120°。（2）由（1）得：sinB＋sinC＝sinB＋sin（60°－B）故当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值为1。

二、利用三角函数公式化为一个角的同名三角函数

对于部分三角函数题目而言，无论是在已知条件当中或是设问当中，均含有两个甚至两个以上的三角函数。常见的三角函数主要包括正弦函数、余弦函数以及正切函数三类。在实际解答的过程中，如果包含两种或者两种以上三角函数时，其计算过程将会较为复杂，无形中会增加题目难度。因此，化为一个角的同名三角函数，对快速解题将起到画龙点睛的效果。一般而言，该种计算过程主要依靠和差化积公式、积化和差公式两类进行。

例2：“已知函数 f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx。（1）求的值；（2）求f（x）的最大值和最小值。”由于题目当中包含了正弦函数与余弦函数两种，根据和差化积公式将其转化为一个三角函数，其解答过程如下：4cosx-1，x∈R。因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝-1时，f（x）取最大值6；

三、以三角函数的极值与性质为突破求最值

对三角函数最值问题进行解答的过程中，运用三角函数自身的极值与其他的性质，也是求解三角函数最值的一个重要方法。对于正弦函数以及余弦函数而言，其自身的值域均为[-1，1]，正切函数的值域为R，还要特别注意角的范围对三角函数值域的影响。同时，对于三角函数而言，其还具有周期性等性质。运用周期性等性质解题，也能够起到较好的效果。

四、利用二次函数的知识求解三角函数的最值

三角函数问题与二次函数相结合的题型相对较多，因此，运用二次函数的知识对三角函数的最值进行求解，也是常用的方法之一。在实际解题的过程中，中学生不仅需要熟练掌握二次函数的相关知识，同时还应对三角函数的基本变形方法等理解透彻。此外，在解题期间，还可能会运用到换元法、配方法等常用的数学方法进行辅助解答。

例5：“求函数7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值。”该类问题不仅包含三角函数的题目，同时还与二次方程的知识相结合，同时，通过对题目的观察可以发现，给定题目当中的最高次幂为4次幂，在中学期间，学生通常不会接触到4次幂题目的解答。因此，在做题时，应运用三角函数当中的倍角公式对给定条件进行降幂，变为二次函数的最值问题，从而能够降低解题的难度。其具体解题方法如下：

令u=sin2x，则函数z=（u-1）2+6z在[-1,1]中的最大值为zmax=（-1-1）2+6=10，最小值为zmin=（1-1）2+6=6，故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时，y取得最小值6。

总而言之，三角函数是单招数学当中的重要内容，也是考试当中的热点问题。因此，对于单招学生而言，应首先对三角函数的相关概念和性质了解清楚，掌握有关三角函数的最值的相关解题方法，包括运用三角函数性质、计算公式、化简方法等，提高三角函数的解题能力。在解题过程中通过观察、分析找到各个知识点的共同点予以突破，进而提炼方法、总结规律，从而提高学生的数学素养。