最大速度在哪里

郑 琦

(浙江省萧山中学 浙江 杭州 311201)

1 原题展示

教学时经常会遇到这样一道题.

【题1】如图1所示，固定的光滑竖直圆轨道半径为R，圆心为O，AB为竖直方向上的直径.一个可视为质点的质量为m的小球紧贴圆轨道内壁做圆周运动，过A点时速度为v0，试求最大压力的位置和它的大小.

图1 题1附图

解析：由机械能守恒可知A点即为最大速度处，而最大压力也必然在A点.具体证明如下.

如图2所示，假设某时刻小球运动到C点，C处位置用角度θ表示，C处速度记为vC.

图2 题1解析用图

由机械能守恒定律和C处向心力公式，可列出以下关系

联立以上两式，可得

说明：(1)θ可取范围为[0,π]，cosθ单调递减，N也单调递减.

可知A处压力最大，为

B处压力最小，为

(2)要完成完整圆周运动的条件就是能保证通过B点，即在B点处要求不脱离轨道，即

得

(3)A，B两点的压力大小之差恒为定值

NA-NB=6mg

2 思考与拓展

上题中的圆轨道是光滑的，那么如果它是粗糙的呢？最大速度还会在A点吗？压力最大也在A点吗？如果不是，它们分别在哪里？并且两个最大值的位置会在同一位置吗？

【题2】固定的粗糙竖直半圆面，半径为R，圆心为O，PQ为水平直径.从P点静止释放一个质量为m并可视为质点的小球，它与轨道之间的动摩擦因数恒为μ，试求：

(1)最大速度的位置和大小;

(2)最大压力的位置和大小.

(两个位置可用角量θ表示)

图3 题2附图

分析：速度的大小变化由切向加速度决定，如图4所示,设轨道最低点为M,对小球在轨道上任意位置时，写出切向和法向的动力学方程.

图4 题2解析用图

切向：

maτ=mgcosθ-μN

(1)

法向：

(2)

(1)定性判断

(2)半定量证明两者不在同一位置及先后关系

把式(1)、(2)用角量表示

(3)

mgcosθ1=μN(θ1)

故

所以当θ=θ1时

而θ=θ2时

故

(4)

即A点和B点是不重合的.小球先到达速度最大处，然后再到达压力最大处.

(3)定量计算它们的位置和大小

由式(3)得到

考虑到

方程两边同乘dθ，得

移项

即

这是一个关于f(θ)的一阶线性微分方程，两边同乘e2μθ，有

e2μθf′(θ)+2μe2μθf(θ)=

即

左右同时积分并注意到等式右边部分应用分部积分方法，得到

考虑初始条件：θ=0时f(θ)=0，得

即

(5)

(6)

速度最大时，要求

即

(7)

压力最大时，要求

即

(8)

说明：

(1)式(7)、(8)为超越方程，没有解析解，只能用数值模拟逼近，可参考文献[1]，笔者用计算格代数值模拟得到图5.

(2)比较式(7)、(8)可知式(7)成立时的θ1确实比式(8)成立时的θ2略小，与式(3)和图5都吻合.

数值模拟各参数如下：

v0=4 m/s,θ0=0,g=10 g/s2,m=1 kg,R=1 m,μ=0.1.

图5 数值模拟图

3 结束语

高中物理中的许多问题，如果细细追究会有很多这样类似的问题存在，对于这些问题的深度挖掘和拓展，既能提高物理教师的专业水平，又能提高命题水平和试题辨析能力，使试题更加科学，也能更好地帮助学生少走许多弯路.