巧解第34届全国中学生物理竞赛复赛第二题

杨祖华

(贵阳市第一中学 贵州 贵阳 550081)

(1)彗星先后两次穿过地球轨道所用的时间；

(2)彗星经过C,D两点时速度的大小.

已知积分公式

式中的C是任意常数.

图1 题图

解：(1)由题意可知，彗星的轨迹方程为

(1)

如图2所示，彗星运动到地球轨道的C点时有

r=Re

(2)

θ+φ=π

(3)

(4)

CD=2rsinφ

(5)

图2 彗星运动到C点分析图

抛物线的弓形CDA的面积S1为

(6)

△CDS的面积S2为

(7)

在C→D过程中，彗星与太阳连线扫过面积S为

S=S1-S2

(8)

令彗星在近日点A的速度为vA，由开普勒第二定律可知，彗星与太阳的连线在单位时间间隔内扫过的面积S′为

(9)

彗星先后两次经过地球轨道所用的时间为

(10)

因为彗星运动的轨迹是抛物线，所以彗星与太阳构成的系统机械能守恒且为零.彗星在近日点A有

(11)

由式(1)～(11)可得

(12)

由式(12)代入数据计算得

t=6.40×106s

(13)

(2)彗星在C点的速率等于在D点的速率，由机械能守恒且为零可得

(14)

即得

(15)

由式(15)代入数据计算得

vC=vD=4.22×104m/s

(16)

上文中的式(1)和式(6)是利用圆锥曲线的特性直接写出的，式(9)是利用开普勒第二定律考虑极短时间间隔内的情况写出来的，其他的式子属于基本的几何、物理或能量关系式.下面，我们介绍本题涉及到的圆锥曲线的特性和式(9)的来源.

1 圆锥曲线的极坐标方程

2 抛物线与坐标轴围成图形的面积公式

如图3所示，抛物线的方程为y=kx2(k>0)，抛物线与x轴及平行于y轴的辅助线围成的图形Ox1Q的面积为

(17)

则抛物线与y轴及平行于x轴的辅助线围成的图形Oy1Q的面积为

(18)

图3 抛物线

只要从抛物线的顶点算起，式(1)和式(2)对任意形式的抛物线均适用[式(16)利用到了式(2)的结论].

3 行星与太阳连线扫过面积的变化率