Mathematica在中学数学教学中的若干应用

摘 要：Mathematica是美国Wolfram公司研制开发的数学计算软件系统，它很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统及与其他应用程序的高级连接。自1987年发布系统的1.0版本开始便迅速流行起来，后经不断改进和完善，于2017年推出了11.0中文汉化版本。Mathematica功能强大，已广泛应用于各个领域。目前，Mathematica在中学数学教学中应用还不是很多，本文将分享一些应用案例和研究心得。

关键词：Mathematica；中学数学教学；教学改革

作者简介：甘哲，湖南教育出版社。（湖南 长沙 410000）

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）13-0061-02

Mathematica是美国Wolfram公司研制开发的数学计算软件系统，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统及与其他应用程序的高级连接。自1987年发布系统的1.0版本开始便迅速流行起来，后经不断改进和完善，于2017年推出了11.0中文汉化版本。Mathematica功能强大，已应用于各个领域。目前，Mathematica在中学数学教学中应用还不是太多，本文将分享一些应用案例和研究心得。

一、符号计算

著名的数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）说过：“让一些杰出的人才奴隶般地把时间浪费在计算上是不值得的。”他渴望有朝一日能用计算机把科学家从这奴隶般的计算中解放出来。计算机的诞生，是为了应对大量复杂的计算。最开始仅限于数值计算，后来随着计算机的发展，人们希望用来处理数学符号的演算，也称计算机代数。简单地说，就是用符号运算代替了数的运算，这里的符号可以代表整数，有理数，实数和复数，也可以代表多项式，函数，还可以代表数学结构等。现在，人们已经开始利用计算机代数发现、验证、证明和解决许许多多的数学问题，符号计算的方法和能力正显示出巨大的优势。

■+■≈0.8333是数值计算，得到近似结果。而■+■=■，则是符号计算，得到准确结果。32-22=5是数值计算，x2-y2=（x-y）（x+y）则是符号计算。目前的计算机甚至能将图片当作符号进行处理。显然这样的操作，有利于学生理解记忆数学公式。

二、大数计算

在不少资料上，有类似的教学设计：

教师：现在来做一个数学游戏，请大家来抢答，今天是星期一，那么10天后是星期几？

学生：是星期四。

教师：100天后是星期几？

学生：是星期三。

教师：8100天之后是星期几？（巨大的数字让学生感到茫然，短暂的思考后出现了转机）

学生：8100=（7+1）100展开后最后一项肯定是1，而前面各项都是7的倍数，所以8100被7除，余数是1，8100天后是星期二。

教师：倾毕生之精力也难以将8100的具体数值算出来，就连计算器也无能为力，但在数学真理面前却是“小菜一碟”，显示出数学理性精神的光辉与无比的威力、魅力。想知道8100=（7+1）100的展开式是什么吗？今天我们一起学习二项式定理。

这样的设计比较常见，用问题入手，引出要讲的知识点，二项式定理也确实是解决此类问题的利器。问题是，真的倾毕生之精力也难以将8100的具体数值算出来，就连计算器也无能为力吗？使用符号计算软件，一瞬间就可以得到结果：

2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376。

这反映了设计者不了解计算机能做什么。事实上，计算机能做这些“出人意料”的事情，正突显了数学的巨大优势，丝毫不影响二项式定理的“光辉形象”。

三、算法编程

1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一则数学新闻。文中记叙了这样一个故事：70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1。如果是个偶数，则下一步变成N/2。不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环。这就是著名的“冰雹猜想”。

当执行下面简单的几行代码后，计算机就会快速返回计算结果。

Collatz[n_]：=If[EvenQ[n]，n/2，3n+1]

Collatz3[n_]：=Nest[Collatz，n，3]

FixedPointList[Collatz3，31]

{31，142，107，484，364，274，206，155，700，526，395，1780，1336，167，754，566，425，319，1438，1079，4858，3644，2734，2051，9232，1154，866，650，488，61，46，35，160，20，16，2，2}

也可以通過搜索计算，穷举一些式子的可能性。有这样一道数字谜题：

在方格内填写1，2，……9九个数字，使得等式成立。

共有10组答案，单靠人力是很难完全解出来的。

四、绘制函数与探究最值

1. 绘制函数。函数图像是研究函数性质、解决函数相关问题的重要工具，主要考查函数解析式与函数图像的关系，重点考查识图、用图、画图等方面的能力，多以选择题、填空题的形式出现，函数的图像是数形结合的典范，纵观近几年高考试题，函数图像考查涉及的面广，形式灵活，经常以新面孔出现，是每年的必考内容。而手工绘制函数存在较大误差，会影响学生的认知和判断，因此使用计算机作图是很有必要的（图1）。

2. 探究函数最值。所谓无巧不成题。题目的数据常常是精心设置的，稍微改动一下就会出现问题。譬如某题：“若a>0，b>0，a+2b=1，求a2+b2+■■的最小值。”被改成“若a>0，b>0，a+2b=1，求a2+b2+■的最小值。”看似改動之后变简单了，实则不然。通过计算机计算，看看a和b为何值时，函数值取得最小值。发现改变后的题目，计算结果要复杂很多。

In[19]：=FindMinimum[{a2+b2}+■，a+2b=1 && a>0 && b>0}，{a，b}]

Out[19]={0.85，{a？邛0.4，b？邛0.3}}

In[20]=FindMionimum[{a2+b2+■，a+2b=1 &&a; >0 && b>0}，{a，b}]

Out[20]={8.30827，{a？邛0.4，88733，b？邛0.255634}}

此外，Mathematica的应用还有很多。包括绘制完全图图2，绘制分形图图3等。相信随着Mathematica在中学数学的应用越来越深入，必然还将有更多的发现。

五、探究轨迹与数列

1. 探究轨迹。解析几何中要求学生探究动点与多定点之间的关系，除了加减乘除，还有很多超出老师预期的。譬如下面两例：

例1：已知点P（2，0），Q（1，0），MP*MQ=10，探究点M的轨迹。输入：ContourPlot[（（x-2）^2+y^2）^（1/2）*（（x-8）^2+y^2）^（1/2）==10，{x，0，10}，{y，-2，2}]，执行得到图4。

例2：已知点P（2，0），Q（1，0），MP^3=MQ，探究点M的轨迹。输入：ContourPlot[（（x-2）^2+y^2）^（1/2）^3==（（x-1）^2+y^2）^（1/2），{x，-1，2}，{y，-1.5，1.5}]，执行得到图5。

2. 探究数列。已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求数列{an}的通项公式。（2006年福建高考试题文科22题）

此题用计算机可快速解答，只需执行下面语句，就可以得到通项公式为：

RSolve[{a[n+2]==3a[n+1]-2a[n]，a[1]==1，a[2]==3}，a[n]，n]

{{a[n]->-1+2n}}

参考文献：

[1] 金荣乐.Mathematica系统在初中数学中的应用与实践[J].数学学习与研究，2008，（1）.