载荷作用下球轴承旋转精度的Copula估算方法

李丽红，李济顺，薛玉君，禹统帅，余永键

(1.河南科技大学 车辆与交通工程学院，河南 洛阳 471003；2.河南省机械设计及传动系统重点实验室，河南 洛阳 471003)

球轴承可以看做是一个由内圈、外圈、球、保持架组成的系统，这些零件都有其自身的几何精度，零件几何精度的差异和运动副间隙及其相互作用必定会影响球轴承的旋转精度。在载荷平衡约束和几何协调约束作用下，轴承零件的几何精度及其相互作用最终影响着轴承旋转精度。球轴承零件的几何精度可通过测量得到，而轴承旋转精度则通过对轴承内外圈的径向和端面跳动等进行测量得到，很少用零件的几何精度去估算成品轴承的旋转精度。轴承旋转精度与其零件的几何精度必然存在一定的关系，但这种关系很难用数学公式来表达。因此，用统计的方法寻求零件尺寸精度的分布规律，再用联合分布Copula函数建立轴承旋转精度的联合分布与其零件几何精度多元分布之间的传递和映射关系,尝试在装配之前估算轴承的旋转精度。

1 Copula函数理论

Copula函数也称为连接函数或相依函数，是将多维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数连接起来的函数，其作用就是在多元分布中将相依性结构从边际特征中区分出来。这种思想来源于著名的Sklar定理：可将联合分布分解成多个边际分布和一个联合的Copula函数，此函数能把多个边缘分布联系起来进行变量间的相依性描述。

Copula理论于1959年提出[1]，20世纪90年代以来，Copula理论和方法在国内外迅速发展，并应用到交通、金融、保险、建筑动力风荷载、机械系统的可靠性分析等多个领域[2-14],并取得了良好效果。一般分布估算法无法构造适当的多变量联合分布函数，使其具有指定的单变量边缘分布函数以及多个变量之间的相关性。Copula函数可以把联合分布函数和边缘分布函数联系起来构造多元分布函数对变量之间的相关性进行分析，而且与PPCA，BOA算法相比运算量小，能较好地反映优势群体的分布情况[13]。

设F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn)为连续的边际分布函数，其联合分布函数为H(x1,x2,…,xn)，存在一个 Copula 函数,使

C(F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn))=

H(x1,x2, …,xn)，

(1)

令W1=F1(x1),W2=F2(x2),…,Wn=Fn(xn),则

C(W1,W2,…,Wn)=

(2)

常用的多元正态Copula函数和密度函数的表达式为

C(u1,u2,…,uN;ρ)=

Φρ(Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN))，

(3)

c(u1,u2,…,uN;ρ)=

(4)

ζ=(ζ1，ζ2,…,ζN)′，ζN=Φ-1(uN)，

式中：ρ为对角线上的元素为1的对称正定矩阵；|ρ|为矩阵相对应的行列式的值；Φρ(u)表示相关系数矩阵为ρ的标准多元正态分布函数；Φ-1(u)为Φ(u)的逆函数；I为单位矩阵。

Copula方法在建立随机变量的联合分布时有如下优点：1)Copula理论不限制边缘分布的选择，结合Copula函数可以灵活地构建联合分布函数；2)在运用Copula理论建立模型时，边缘分布反映的仅是单变量的个体信息，变量间的相关信息完全由Copula函数体现，可以将随机变量的边缘分布和变量间的相关性分开研究[10]。

2 轴承旋转精度

滚动轴承运转时，为了保证传动零件的旋转精度，需要将轴承内、外圈和端面的跳动控制在一定范围内，因此轴承的旋转精度涉及内外圈的径向跳动、内外圈端面对滚道的跳动、内圈基准端面对内径的跳动、外圈素线对基准端面倾斜度变动量以及内外圈滚道对底面厚度的变动量。对于球轴承，轴承外圈的径向跳动与端面跳动是判断轴承旋转精度的重要指标[15-16]。

影响滚动轴承旋转精度的因素很多，滚动轴承旋转精度除受载荷影响外，主要受滚动轴承零件的几何精度(外圈的尺寸精度、形状精度，内圈的尺寸精度、形状精度，滚动体的尺寸精度等)、径向游隙、滚动体个数等参数的影响。滚动轴承运转时，其旋转精度还会受到安装方式、预紧力、工作载荷、温度及润滑等多种因素的影响。

3 数学模型

3.1 随机变量

轴承装配合套前，各零件在几何精度分布上是独立的，存在一定的自相关性，但装配后，彼此相互影响，为互相关。由于加工的偶然因素影响，轴承的内圈、外圈及滚动体尺寸和形状在其公差范围内的误差是随机变量，将其组合在一起是一个随机过程。

以6204深沟球轴承为例进行分析，仅对影响其旋转精度的重要指标外圈径向跳动Kea与端面跳动Sea进行分析，不考虑保持架的影响。内圈沟道直径、外圈沟道直径、球直径对轴承旋转精度的影响组成各零件对轴承旋转精度的整体影响，将内圈沟道直径下偏差Xir、外圈沟道直径上偏差Xer、轴承所有球中直径最大值与最小值之差的绝对值Xr作为随机变量。取100套轴承零件进行测量，装配后由轴承外圈和端面跳动测量仪测量Kea，Ssa[16]。向测试仪芯轴施加40 N·m的扭矩，得到100组原始数据，考虑测量时试验设备自身的误差，对原始数据进行误差分离得到100组测量数据,由于篇幅所限，仅给出部分数据，见表1。

表1 测量数据

3.2 数据统计分析

3.2.1 随机变量分布参数估计及检验

表2 参数估计及正态检验结果

图1 Xer，Xir，Xr的直方图及核密度图

图2 跳动量Sea，Kea的直方图及核密度图

3.2.2 随机变量的相关性分析

上述5种随机变量之间的协方差矩阵见表3，可以看出，轴承的外圈径向跳动、端面跳动与轴承外圈沟道、内圈沟道和球的尺寸有很强的相关性，由于球尺寸的差异，在轴承运行过程中必然会造成轴承外圈跳动，差异越大，跳动程度越严重。此外，内圈沟道比外圈沟道与轴承径向跳动的相关程度更强。轴承外圈沟道、内圈沟道和球尺寸在未装配之前相互独立，但装配后其对轴承整体性能的影响彼此相关。变量Xer，Xir，Xr，Kea，Sea两两之间的相关性如图3所示(横、纵坐标单位均为mm)，从图中可以看出，Kea，Sea与Xir，Xer，Xr都具有相关性，尤其是与Xr有很强的相关性，这说明轴承的旋转精度与球尺寸的均匀性有很大关系，在其公差范围内，尺寸差值越小，即越均匀，轴承跳动程度就越小。

表3 随机变量的协方差矩阵

图3 Xir，Xer，Xr和Kea，Sea两两相关的关系图

3.2.3 模型建立

轴承内外圈沟道以及球的尺寸偏差对轴承的运动精度都存在相关性，且组合在一起会产生联合作用，形成多维随机变量。可以用Coupla函数来估计。为方便起见，将变量Xer，Xir，Xr和Kea，Sea分别用u，v，w，y1，y2表示。由于u，v，w服从正态分布，设其分布函数及密度函数分别为

(5)

(6)

式中：μu，μv，μw分别为u，v，w的均值；σu，σv，σw分别为u，v，w的均方根。

同理，外圈的径向跳动量和端面跳动量也服从正态分布，可以将其分布函数分别写为F(y1)和F(y2)，则其与u，v，w的联合分布函数F(u,v,w)之间的关系为

(7)

随机变量u，v，w虽说联合起作用，但对外圈的径向跳动和端面跳动的影响不同，从图3可以看出，其影响相当复杂。为便于参数估计，将这种复杂关系进行简化，先考虑尺寸误差两两之间相互作用的影响，再辅以修正参数对模型进行修正，设u，v，w的两两联合分布函数分别为F(u,v)，F(v,w)，F(w,u)，建立模型

(8)

式中：λ1,λ2,λ3，κ1，κ2，κ3均为估计参数。

4 构建Copula函数

Copula可以解释为相依函数或连接函数，是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。以F(u,v)为例进行分析，其边缘分布函数分别为F(u),F(v)，存在一个Coupla函数C(F(u)，F(v))使

F(u,v)=C(F(u)，F(v))。

(9)

由图2可以看出，轴承的外圈径向跳动和端面跳动接近于正态分布，在构建Coupla函数时可使用高斯Copula函数。存在高斯Copula函数使

F(u,v)=C(F(u),F(v))=

CG(F(u)，F(v)),

(10)

变换得

CG(F(u)，F(v))=Φ(F-1(u),F-1(v)),

(11)

式中：Φ为二元正态分布函数；F-1为一维正态分布函数的反函数。则

(12)

式中：ρuv为u，v的相关系数。

用极大似然函数方法对Coupla函数进行参数估计。通过CG(F(u)，F(v))的密度函数c(F(u)，F(v))和边缘密度函数φ(u),φ(v)可以求出联合分布函数F(u,v)的密度为

f(u,v,ρuv)=c(F(u)，F(v))φ(u)φ(v)，

(13)

则

(14)

其对数似然函数为

lnL(f(u,v,ρuv))=Πf(u,v,ρuv)=

(15)

通过计算可得到参数估计值ρuv=0.036 4。

同理可得：ρvw=0.191 2，ρwu=0.263 8。

由(8)和(10)式得到其概率密度模型为

(16)

由于随机变量y1服从正态分布，其概率密度为

(17)

将(13)式代入(16)式得

(18)

根据表1中的数据，通过概率密度最小二乘法使等式两边最接近时估计参数λi(i=1,2,3)为λ1=0.276 1，λ2=-0.081 6，λ3=0.018 3。同理对(16)式进行参数估计可得κ1=0.067 5，κ2=-0.264 3，κ3=0.197 4。

将λi和κi代入(8)式和(16)式得变量之间的数学模型为

(19)

概率密度的数学模型为

(20)

从该模型中可以看出，在载荷作用下轴承内外圈沟道的相互作用对外圈径向跳动影响最大，其次是外圈沟道与球之间的相互配合。而外圈沟道与球的相互作用对外圈端面跳动影响最大，其次是球与内圈的相互作用。

5 试验验证

为检验所建立数学模型的有效性和精确性，另外随机抽取100套6204深沟球轴承进行试验，部分数据见表4。模型计算数据与测量值的对比结果见表5。由表可知，数学模型模拟出来的结果与实际测量结果接近。

表4 测量数据

表5 实测与计算结果对比

6 结束语

将轴承视为多个零件组合在一起的系统，各零件相互作用、相互配合。轴承零件几何精度及其相互作用影响着轴承的旋转精度。基于Coupla函数分布估算法，通过研究轴承内外圈沟道和球的尺寸精度对轴承外圈径向与端面跳动量的关系，用概率密度构建其数学模型，将滚动轴承旋转精度与零件的几何精度联系起来，通过该理论可以对轴承的精度等级进行预测。但建立的模型仅适应于单一型号轴承旋转精度的估算，其他型号轴承旋转精度的估算需另外建立模型。