《坐标系与参数方程》的教育价值的挖掘

黄汝平

摘 要：从2016年起，福建省采用全国Ⅰ卷，选做题从2017年起只有两题，因而《坐标系与参数方程》显得格外重要，本文从多角度剖析此选讲的教育价值和带来的思考，

关键词： 学科内之间联系 数学思想方法 数学能力的培养 跨学科之间联系和应用意识 工具性 数学文化与数学美 信息技术

本专题是在学习了直线与方程、圆与方程以及圆锥曲线与方程的基础上，对解析几何初步内容进一步深化。学习坐标系与参数方程，有助于学生体会解决问题中数学方法的灵活多变。本专题的教育价值，从以下几个方面得到体现：

一、重视与学科内之间联系

从纵向看，直线、圆、圆锥曲线等基础知识、基本方法和基本技能发挥着重要作用。比如直角坐标系中，用数组表示点的坐标，用表示曲线的方程。在极坐标系中用数组表示点的坐标，用表示曲线的方程等等，揭示新旧知识的内在联系。从横向看，此分支与数学科的其它分支的知识进行交汇。如与三角函数、平面向量、函数等知识交汇。如极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化公式，利用了三角函数定义揭示点的横、纵坐标与的关系。又如将椭圆的参数方程化为普通方程，应用了同角三角函数的基本关系式。在互化过程中，还应用了代入法、平方消元法、加减消元法等数学方法。

二、重视数学思想方法

数学思想方法在本专题中应用广泛。① 引导学生运用类比的思想、如极坐标系与直角坐标系类比能更好地理解极坐标定义，为正确进行直角坐标与极坐标互化提供保证。又如求简单的曲线的极坐标方程；② 考查数形结合思想、函数与方程的思想：如求圆心的极坐标为，半径为（）的圆的方程；③ 化归与转化思想：如画出方程的图像，这问题情景是陌生的，就要引导学生将陌生问题化为熟悉的问题即将极坐标方程化为直角坐标方程；④ 有限与无限思想：如极坐标与直角坐标比较有许多长处，它也有不足，平面上的点对应的极坐标却有无数个。如果ρ>0，0≤θ<2π或-π<θ≤ π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。注意：如无特别要求，通常取ρ≥0 ，。数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，因此，在平时教学中要意识进行地渗透 ，让学生在学习中得到潜移默化。

三、重视数学能力的培养

新课程改革非常突出能力培养，本专题也不例外，学生通过学习，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力。1。抽象概括能力：如学习参数方程时，教材从抛物运动谈起，从物理现象抽象出数学问题的本质；2。运算求解能力和推理论证能力：教材P12 例2题目的表面意义求曲线的直角坐标方程。当求出了曲线的普通方程后，进一步探究曲线的类型，运用了分类与整合的思想，对进行讨论，得出了当取不同的值时，表示不同的曲线（椭圆、抛物线和双曲线）。最后下了极其耀眼的结论：是椭圆、抛物线与双曲线这三种圆锥曲线的统一的极坐标方程。这道题信息量很大，除了考查了分类与整合、化归与转化，特殊与一般等数学思想外，培养学生运算求解能力、推理论证能力和抽象概括能力，最想说明的是极坐标方程表示曲线的简洁。

四、重视跨学科之间联系和应用意识

比较典型的教材引用了物理的斜抛运动和平抛运动的两个实际问题来说明参数是联系之间关系的中介变量，由于例子的背景是学生所熟悉的，体现了化归问题的简单原则，对于我们的教学有借鉴作用的。数学与物理的联系是紧密的，类似于数与形的关系。如圆的参数方程若写成（），

则具有物理意义。又如直线的参数方程，

其中的物理意义就是位移，在数学中称为数量。在物理学中，位移是矢量，它是具有大小，又有方向的。这样解释学生对的几何意义也就不难理解。再如物理学科中简谐振动的图象中研究振动质点的速度，从数学实质看就是研究过曲线上的点的切线的斜率变化，应用数形结合能很直观地分析出振动质点的速度变化情况。数学是物理的工具，物理促进数学的发展。启发学生对这类问题可从物理、数学不同的角度去分析。

五、重视极坐标法和参数法的工具性作用

1.实际应用：学生的学习用品中直尺用来画直线、圆规用来画圆，那要画椭圆呢？有这工具吗？教材介绍了椭圆规的工具制作，若对其原理进行分析，导入了参数的选取问题。可增强学生解题参数意识。

2.解题方法：我们一般认为，三角函数、平面向量是数学解题工具，那么学习了极坐标方程和参数方程，极坐标法和参数法也可作为工具。在求平面上的动点的轨迹方程便能体现它们的优越性。

题目： 已知定点，，及定直线，是上的动点，且满足，求直线的交点的轨迹方程。

分析：观察图形，由于点M的轨迹与直线PF（QF）的运动有关，可考虑选PF的斜率为参数；若注意到M的轨迹又取决于P、Q，故又可以考虑P、Q的坐标为参数。

评析： 许多轨迹问题都与直线的运动或点的运动有关。因此直线的斜率与动点坐标是使用得最多的参数之一。

六、数学文化与数学美

本专题作为选修教材，其中大量体现着数学文化与数学美，我们看看教材中列举了美丽曲线种种。如摆线、卡丹转盘和齿轮、叶形线、对数螺线、玫瑰线（如图，用几何画板作）等等，无不体现着数学美，应让学生好好地去欣赏，去思考这些充满美感的曲线怎么画的？在感受数学的曲线美的同时，别忘了三位数学家：阿基米德、卡丹和帕斯卡。在几何学上，卡丹发明了画椭圆的“卡丹转盘”，是研究摆线的第一人；帕斯卡系统研究摆线，写出三本关于摆线的著作；阿基米德是历史上最伟大的数学家之一，是发现且证明圆面积公式与球体积的第一人，其名著《论螺线》论述阿基米德螺母和空间等进螺线的性质。这些数学家取得伟大的成就，为真理而孜孜以求的奋斗精神，以及对美和善的崇高追求，不就是培养学生良好的情感态度和价值观的典范。

七、信息技术应用

利用现代学习工具，促进学生积极参与数学活动：猜想论证，探索与推理，问题的提出与分析解决，计算与检验等，可加深对数学概念、思想方法的理解，培养分析问题与解决問题的能力。如在学习平面直角坐标系的伸缩变换时可借助几何画板引导学生观察动点变化规律，猜想其轨迹，然后再进行论证。这样设计激发了学生的好奇心，增强学习数学的兴趣。