易拉罐形状和尺寸的最优设计的数学模型

付尧

摘要： 易拉罐作为产品包装，要尽量符合消费者的审美观念、做到使用方便、造价最低。将易拉罐的罐身设制成弧度，同时引入了“黄金分割点”这个完美的比例关系，设计出一个符合大众审美观念的易拉罐形状。在此基础上进行最优化设计，即使产品所耗材料最少。在这些必要的假设前提下，建立了最优化模型，利用MATLAB软件对模型进行了求解，得出了易拉罐的尺寸比例。这个设计方案考虑了主要因素的作用，使得易拉罐的设计能够适用市场，满足消费者的需求和厂商的经济利益，具有很好的推广性。

Abstract： As a product packaging， cans should try to meet the consumers' aesthetic sense， and be easy to use and with the lowest cost. The shape of the cans were designed to radian， and at the same time， the perfect proportion of "golden section" was introduced to design a can shape that was in line with the general aesthetic concept. Based on this， the optimal design is made， that is the product consumes the least material. Based on these necessary assumptions， an optimization model was established and the model was solved using MATLAB software. The size ratio of the cans was obtained. This design plan takes into account the role of major factors， making the design of cans suitable for the market， meeting the needs of consumers and the economic interests of manufacturers， and has a very good promotion.

關键词： 约束极值；拉格朗日乘数法；非线性方程；黄金分割点

Key words： constraint extremes；Lagrange multiplier method；nonlinear equations；golden section

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）18-0260-02

0 引言

易拉罐，作为一个产品的包装，是直接面对消费者的，它的设计是否合理，不仅会对易拉罐的成本造成影响，而且还会影响到消费者对产品的认识及定位，从而会影响到产品的销量，所以，在易拉罐的设计上，不仅要从经济成本上来考虑最优化的设计原则，而且要从消费者的心理以及人体工程学的角度来考虑，从而满足了消费者的消费诉求和方便性的使用。同时，还要综合考虑美学等因素，使易拉罐的实际在追求最优设计的同时也做到美学上的最优。0.618，这个黄金分割点是经久不衰的完美比例点，所以我们在易拉罐的外形设计上也引入了这个经典的比例。同时，我们也考虑了手握易拉罐的舒适感，所以我们将易拉罐的外形设计成弧线型。

简图如图1。

1 基本假设

①易拉罐的纵截面简化为如图2所示，即将上下两个部分简化为圆台进行计算；②易拉罐的容积刚好为355ml；③整个易拉罐所用材料相同；④侧面和底面的厚度相同，顶盖为其的3倍；⑤易拉罐上下圆台的高度之比为0.382：0.618，符合黄金分割点，为了满足人们的审美观；⑥不考虑接口处的耗材。

2 符号说明

①R：顶部和底部的外半径；②r：中间凹部分的外半径；③d：侧面厚度；④3d顶盖的厚度；⑤H：总高度；⑥V1：下半部耗材体积；⑦V2：上半部耗材体积；⑧V3：顶盖耗材体积。

3 模型建立

本模型综合考虑了易拉罐的造价最低和符合人们的审美观念两个重要因素，在保证黄金分割点的前提下，以造价最低为目标函数，容积为约束条件，建立条件极值模型。

6 模型评价

本模型中所设计的易拉罐形状很有特色。首先，在高度和半径的比例中引入了“黄金分割点”，既是科学的比例关系，又符合大众的审美观念，使产品能够吸引消费者的眼光，为产品的销售提供一个很好的优势。其次，在必要假设的前提下，对易拉罐的造价进行了最优化设计，尽量使产品的经济成本最低，使产品具有成本优势。再次，易拉罐独特的弧形设计，完美地阐述了曲线的美感，也使消费者使用更加方便舒适，为产品赢得消费者的亲睐奠定了情感的基础。综合来说，易拉罐整体的设计别具一格，推陈出新，打破了易拉罐圆柱体的传统设计思想，具有创新性。

但是，易拉罐的设计也有一些缺陷。弧度的设计在增加美感的同时，也增加了制造的难度和工时，也会增加一定的成本。模型建立中忽略了易拉罐罐身所使用的材料的不同造价，可能会与实际的情况有一些出入。

参考文献：

[1]安泰科，中国全铝易拉罐行业现状与罐料供应http：//www.atk.com.cn/antaike/cn/show/show.php3， 2006年9月15日.

[2]周文国.易拉罐的设计方案[J].中学数学教学，2002（01）.

[3]侯风波主编.高等数学[M].高等教育出版社，2003.