立体几何教学的最佳突破口

周玉莲

初中生升上高中时学习立体几何时普遍感觉难度比较大，而构造正方体、充分利用正方体的性质解决立体几何的题目，是使学生更容易的理解立体几何的基本概念和掌握立体几何的基本方法。所以本文从利用正方体解决立体几何各种题型方面来分析正方体对解决立体几何问题的作用，强调它是立体几何教学的最佳突破口。

一、立体几何教学现状

初中的数学课文基本上以平面几何内容为主，只有初三有一点三视图的内容，而又不是考试重点，所以学生与老师在这个内容上所花的时间不多。虽人教版新教材的立体几何整体难度有所下降，但高中学生普遍仍觉得立体几何难学，普通中学的学生就更加如此。正因为如此，教师也觉得立体几何难教。

1. 为什么立体几何难学——学科特点

依据笔者多年的教学经验和学生访谈，立体几何难学的原因，归纳起来有二点：一是立体几何涉及的关系比较多（表现为概念多、定理多），这些关系之间的转化又很灵活，都对学生提出了较高的要求；二是立体几何的直观图形不能（像平面几何那样）给学生提供全真的视觉信息（如两条看似相交成锐角的直线其实是互相垂直的异面直线等），这种情况对学生的空间想象能力和逻辑推理能力都提出了较高要求。基于这两点原因，一道在老师看来绝对难度中等的题目，学生也觉得难做。那么，面对立体几何多而杂的头绪，灵活而严谨的推理，我们从哪里去寻找立体几何教学的突破口，从而提高立体几何的教学效率呢？

2. 怎样提高立体几何的教学效率——关键是抓“正方体”

（1）正方体是学生最早接触和最熟悉的空间图形，同时它也是一个空间感很强的几何图形。借用它来教学立体几何，学生心理上容易接受，从而畏难情绪也大为降低，同时也有助于学生思考和观察空间问题，降低思维难度。

（2）正方体能完美体现立体几何核心知识。在正方体中能反映空间基本的线线关系、线面关系、面面关系，而通过对正方体的截割，可以得到多样的柱、台、锥体。

（3）正方体是高考立体几何命题的重要源泉之一。这点从历年的高考试题可以得到验证，同时借助正方体可以产生新型的立体几何题。

（4）正方体是探索解题思路的重要突破口。很多立体几何问题由于线面关系复杂或图形不容易画。借助正方体，把我们所要研究的问题放置于更大的背景之中，可以从整体上更好地看清各部分之间的关系。

二、挖掘正方體教学潜能的具体做法

1. 引导学生用“研究”的视觉重新“认识”正方体，从而让学生感悟立体几何的核心知识。

（1）正方体有6个面、8个顶点、12条棱，且满足面数+顶点数–棱数=2。

（2）正方体的12条棱可以组成24对异面直线。

（3）正方体有13条对称轴、9个对称面。

（4）由正方体的顶点组成的三角形中，锐角三角形8个，直角三角形48个。

（5）正方体绕其对角线旋转120°后，与原正方体位置重合。

（6）正方体的内切球半径为，外接球半径为。

（7）一个平面截正方体，其截面可以是：三角形（锐角三角形的面积在0～a2之间）、正方形（面积a2）、菱形（面积在a2～a2之间）、矩形（面积在0～之间）、梯形、平行四边形、五边形、六边形。

（8）棱、面对角线、体对角线（简称正方体的三类线）分别组成什么角度？

（9）三类线与三类面（底面、对角面、平面）间线面所成的角分别为多少度？（注：底面是指正方体的底面或侧面、由首尾相连的三条面对角线所确定的正方体的截面记为平面。）

（10）三类面（底面、对角面、平面）间分别组成什么角度？

（11）正方体的三类线间，异面直线的距离各是多少？其中最典型的是两相邻侧面对角线间的距离（），其求法又可以成为求异面直线的基本图形和基本方法。

（12）有趣的是正方体包含正四面体和正八面体，借助正方体这个“模型”容易发现正四面体和正八面体的性质（如正四面体的对棱互相垂直等）。

2. 正方体上的点、线、面具有特殊的位置关系及线段的长度关系。在很多立体几何问题中，如能构造正方体，发挥正方体的模型作用，那么能使很多问题简捷明快轻松获解；很多立体几何问题由于线面关系复杂或图形不易画，尽管这些问题与正方体无关，但是我们借用正方体作为“道具”，并利用它的特殊性质来处理问题，仍会使问题变得简明清晰。

3. 研究空间线面关系是立体几何学习的核心，正方体含有丰富的线面关系，借助它可以编制许多“好”的立体几何题。

责任编辑徐国坚