一类含有平方梯度项的塑性流体数学模型正解的存在性及正则性

侯 冰，张大鹏，徐中海

(东北电力大学 理学院，吉林 吉林 132012)

经典解的存在性及其正则性，其中：f1(t)是定义在(-，+)上的非负且严格单调递增的光滑函数，g(t)和f(t)是定义在(0，+)上的非负且严格单调递减的光滑函数.显然，在此区域上该问题是一个在边界上退化的非线性椭圆问题.

问题(P)是用来描述塑性流体的一个经典数学模型，是由守恒律得到的(见文献[1]～文献[3]).近年来备受关注，且对于这个问题的研究取得了一些重要成果(见文献[4]～文献[15]).

本文假设：

(H1)存在常数a0>0，b0>0，使R(a0，b0)≥r0；

(H2)f1(0)=0，f1(t)>0(t≠0)，且f1(t)在(-，+)光滑，在(0，+)上不减；

(H3)g(t)>0，g(t)在(-，0)∪(0，+)光滑，在(0，+)上不减，且

(H4)f(t)>0(t≠0)，且f(t)在(-，0)∪(0，+)光滑，在(0，+)上严格递减；

本文主要给出如下定理：

注1：具有平方梯度项时，文献[13]中的处理方法不能直接使用，本文把文献[13]的结果移植到具有梯度平方项的情况.这不是一个简单的推广，本文结果独特的标志是把解的存在性与问题区域的大小直接联系起来.

注3：文献[13]中附录A的有关证明有漏洞，其修正的证明见文献[16].

1 基本引理及正则化问题解的基本估计

引理1[7](比较原理)

给定方程：

设方程满足的边界条件为：

(1)f1：[0，)×Ω→[0，)，对于区域Ω上的任意点X，f1连续且非减；

(2)g：(0，)×Ω→(0，)，对于区域Ω上的任意点X，g连续且非增；

(3)f：(0，)×Ω→(0，)，对于区域Ω上的任意点X，f连续且非增.

我们进一步假设

则ψ≥u≥φ.

考虑问题(P)的下述正则化问题为(1>ε>0)

(Pε)

根据椭圆方程有关经典理论[17]，可以得到关于如下结论：

命题1问题(Pε)有经典解uε，且当(x，y)∈Ω时，0

证明：①证当(x，y)∈Ω时，uε>0.

显然0是正则化问题(Pε)的下解，则有uε≥0，且

(Eε)

又若(x0，y0)∈Ω，使得uε(x0，y0)=0，即0为该问题解的最小值，则有uεxx≥0，uεyy≥0.而f(ε)>0，所以在点(x0，y0)处(Eε)式不成立.因此，当(x，y)∈Ω时，uε>0.

②证当(x，y)∈Ω时，uε≤a0.

设Φ(x，y)=w(r)，其中：w(r)是当a=a0，b=b0时，文献[13]中问题(PP)的解.容易验证，Φ是问题(Pε)的一个上解.显然Φ≤a0，则由比较原理可得，uε≤a0.证毕.

命题2设问题(Pε)的经典解为uε.则存在1≥λ0>0及1>ε0>0，使得当0<ε<ε0时，∀(x，y)∈Ωd={(x，y)∈Ω：r(x，y)≥d}，都有uε(x，y)≥λ0r2(x，y).

证明：∀(x0，y0)∈Ωd，设Ω′={(x，y)：(x-x0)2+(y-y0)2

f1(φ+ε)=f1(λs+ε)≤f1(2)，g(φ+ε)=g(λs+ε)>0，φxx=-2λ，φyy=-2λ.

所以

注意到f的性质，存在1≥λ0>0及1>ε0>0，使得当0<ε<ε0，λ=λ0时，有：

应用比较原理：在Ω′内uε(x，y)≥φ(x，y)；特别取(x，y)=(x0，y0)，则有∀(x，y)∈Ωd={(x，y)∈Ω：r(x，y)≥d}，uε(x，y)≥λ0r2(x，y).证毕.

由命题2及椭圆方程经典理论[17]得：

2 定理的证明

只须证明解的存在性

在方程两边取ε→0时的极限，有