矩形巷道塑性区宽度计算方法研究

许 彪，王长柏，刘陈林

(安徽理工大学土木建筑学院，安徽 淮南 232001)

关于巷道围岩的弹塑性分析，许多学者应用相关的屈服准则进行了大量的研究，如应用较多的Mohr-Coulomb准则、统一强度理论及Drucker-Prager准则。Mohr-Coulomb准则[1-3]在计算中未考虑中间主应力的影响，与巷道实际所处围岩环境不符，因此其计算误差较大，不利于工程应用；统一强度理论[4-5]虽然考虑了中间主应力的作用，但准则的表达式比较复杂，一些参数在实际围岩中难以测定；Drucker-Prager 准则[6-7]实际上是平面应变情况下，即洛德角为常数情况下的一个准则，所以它没有反映材料三轴拉、压强度不同的情况。

目前大多数研究成果都是针对圆形巷道，而对于矩形巷道的研究则相对较少，虽然圆形断面形式的巷道具有良好的受力状态，但是在考虑经济、施工和支护等多种因素的综合作用下，矩形巷道在工程中的应用程度又明显高于圆形巷道[8-10]，所以研究矩形巷道具有较大意义。由热力学定律可知，能量转化是物质物理过程的本质特征，伴随着材料的整个变形过程并体现了材料性质的不断变化[11-12]。因此，基于能量观点提出的三剪能量屈服准则相对更加合理。

本文采用三剪能量屈服准则对矩形巷道围岩进行分析，提出了一种计算矩形巷道塑性区宽度的新方法。

1 三剪能量屈服准则

三剪能量屈服准则在应力空间和应变空间分别有两种形式[13]。其中在应力空间中可表述为

(1)

三剪能量屈服准则的具体表达式，与MC准则相比，在应力空间中，其屈服面不再是六角形的锥体，而是一个曲线形锥体表面，如图1所示。

图1 三剪能量屈服面示意图

矩形巷道在掘进过程中，巷道两帮为临空区，水平应力得以释放，使得σy远大于σx，同时由于主应力σ1与σy、与σx与σ3之间的夹角较小[14]，可认为σ1=σy，σ3=σx。在平面应变塑性区内，中间主应力σ2可近似取为[15]

(2)

可得

(3)

(4)

将式(3)、式(4)代入式(1)化简得

(5)

2 理论分析

2.1 力学模型

由于水平矩形巷道长轴方向远大于工作面宽度，故可简化为轴对称平面应变问题。针对岩石力学经典弹塑性分析存在的问题，假设巷道和其顶板是连续、均质的各向同性的理想弹塑性体且巷道岩层与顶底板间的摩擦系数、粘聚力相同[16]。建立如图2所示力学分析模型。

图2 矩形巷道力学模型

矩形巷道的开挖宽度为2a，巷道高度为H，不计支护阻力，巷道顶板的垂直方向原始地层压力为p0， 水平方向的原始地层压力为λp0， 侧压力系数λ=μ/(1-μ)。该力学模型沿巷道中心左右对称，沿x轴上下对称。

2.2 平衡方程

考虑到矩形巷道的对称性，沿x轴正方向取塑性区一微小的单元体，如图3所示。

图3 塑性区微小单元体

所取单元体高度为H，宽度为dx，x轴和y轴的压应力分别为σx和σy。矿柱与顶板之间的摩擦阻力为c0+σytanφ0，考虑矿柱自身容重的影响，矿柱与底板之间的摩擦阻力为c0+(σy+ρ0gH)tanφ0，其中c0为接触面粘聚力，φ0为接触面内摩擦角，ρ0为巷道岩层密度，摩擦力方向为x轴正方向。

根据单元体的应力平衡条件，可得到x轴方向的平衡方程为

[2c0+(2σy+ρ0gH)tanφ0]=0

(6)

由式(6)化简得

(7)

2.3 塑性区应力分析

将式(5)代入平衡微分方程式(7)得一阶齐次非线性微分方程

(8)

(0≤x≤xp) (9)

2.4塑性区宽度xp

矩形巷道开挖过程中会引起边帮应力重分布，在高应力作用下，矿柱边缘会出现塑性区[17]。经典弹塑性理论认为应力重新分布后的边界条件如图4所示，图中x轴表示距离巷道边帮的距离，y轴表示垂直方向的应力值，xp为巷道塑性区宽度，p0为巷道原始垂直方向应力。

图4 巷道边帮垂直应力分布

根据弹性区应力分布和边界条件，边帮弹性区的垂直方向的应力σye沿x轴的方向的应力方向的应力分量为

(xp≤x≤+∞) (10)

巷道开采后，巷道顶板的岩层重量转移到边帮，因此由矩形巷道的对称性得

(11)

将式(10)、式(11)代入式(9)整理得

(12)

式(12)为超阶方程，可用Matlab编程求解。

3 算例与分析

已知某煤矿采用矩形巷道形式，根据现场实测和探明的地质条件结果，煤层顶底板分别为石灰岩和砂页岩，工作生产高度H=4m，所受原始地层压力p0=8.5MPa，矿层的粘聚力c=1.4MPa，内摩擦角φ=30°，泊松比μ=0.2，矿石容重ρ0g=28kN/m3，抗拉强度Rt=14MPa，矿层与顶底板结合处的粘聚力c0=2MPa，内摩擦角为φ0=32°，将以上参数代入式(12)中进行求解。

3.1 不同采场宽度下的塑性解

依托算例中某煤矿的相关参数，在原始地层压力p0=8.5MPa情况下，选择不同的采场宽度a，得到不同采宽下两帮塑性区的宽度，具体结果如表1和图5所示。

表1 塑性区宽度计算结果

图5 塑性区宽度随采场宽度的变化曲线

不同的采场宽度条件下，三剪能量屈服准则的计算结果与MC准则、DP3准则的计算结果变化趋势基本一致，塑性区宽度都随采场宽度的增大而增大。当采场宽度相同时，三种准则的计算结果存在差异，DP3准则解>MC准则解>三剪能量准则解。

3.2 岩石力学参数影响分析

使用单因素分析法，采场参数选取采宽12m，采高4m，进一步研究岩体力学参数对塑性区宽度的影响程度。分别取不同岩体内聚力c、内摩擦角φ、原始地层压力p0代入三剪能量屈服准则、MC准则和DP3准则(MC内切圆准则)中进行计算，结果如图6～8所示。

图6 塑性区宽度随内聚力的变化曲线

图7 塑性区宽度随内摩擦角的变化曲线

图8 塑性区宽度随原始地层压力的变化曲线

由图6可知，三种准则下的塑性区的宽度都是随着内摩擦角的增大而减小，而且减小趋势不变，当内摩擦角相同时，三者计算结果不同，其中三剪能量屈服准则的计算结果最小。由图7可知，塑性区的宽度随岩体的内聚力的增大而减小，MC准则和DP3准则计算结果的差值基本不变，而MC准则与三剪能量屈服准则的计算结果的差值随内摩擦角的增大而逐渐增大。由图8可知，巷道塑性区宽度随原始地层压力的增大而增大。

综上，采用不同的屈服准则，计算所得巷道塑性区的宽度存在差异。三剪能量屈服准则比MC准则和DP3准则的计算结果偏小，说明其计算结果相对而言比较保守。

4 结论

(1)在考虑中间主应力和应力平衡的基础上，基于三剪能量屈服准则，推导出了一种新的矩形巷道塑性区宽度的计算公式。

(2)开采宽度和岩体的力学参数对巷道塑性区宽度的影响不同，其中塑性区范围随开采宽度和原始地层压力的增加而增大，随岩体的粘聚力、内摩擦角的增加而减小。

(3)不同的屈服准则对矩形巷道塑性区宽度计算具有不同的敏感性。通过分析可知，三剪能量屈服准则与MC准则、DP3准则的计算结果相近，但是DP3准则解>MC准则解>三剪能量屈服准则解。因此，在矩形巷道塑性区宽度计算时选取合适的屈服准则至关重要。