导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

摘 要：高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为热点.许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查题型.其中涉及一些高中没有教授过的重要的数学定理，洛必达法则就是运用高等数学知识解决高考题的很好体现.用洛必达法则和导数解决高考试题并将这种方法应用于其他试题，从中可以发现运用高等数学知识解题的优越性.

关键词：洛必达法则；导数；参数取值范围

高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为热点.许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查题型.这类题目容易让考生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决.利用分离参数的方法不能解决这类问题的原因是出现了“”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.利用导数确定函数的单调性，再用洛必达法则就能顺利解决上面提出的“”型的导数应用问题.本文首先给出洛必达法则，然后用洛必达法则和导数解决高考试题并将这种方法应用于其他试题，从中可以发现运用高等数学知识解題的优越性.

洛必达法则：设函数f（x）、g（x）满足：

（1）f（x）=g（x）=0；

（2）在U0（a）内，f ′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；

（3）=A（A可为实数，也可以是±∞）.则==A.

1.（2011海南宁夏理21）已知函数f（x）=+，曲线y=

f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围.

解析：（1）略解，易知a=1，b=1；

（2）当x>0，且x≠1时，由f（x）>+，易得k<+1-=+1.

记g（x）=+1，则g′（x）==（lnx+），

记h（x）=lnx+，则h′（x）=+=>0，从而h（x）=lnx+在x∈（0，+∞）时单调递增，且h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，h（x）<0，当x∈（1，+∞）时，h（x）>0；当x∈（0，1）时，

g′（x）<0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）>0，所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.由洛必达法则有：

g（x）=（+1）=1+=1+=0，

即当x→1时，g（x）→0所以当x>0，且x≠1时，g（x）>0.

因为k

综上所述，当x>0，且x≠1时，f（x）>+成立，求k的取值范围是（-∞，0].

通过例题1的分析，我们不难发现运用洛必达法则解决的试题应满足：①可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端函数的单调性；③出现“”型的式子.洛必达法则是数学分析中的一个重要的求不定式极限的方法.在分离参数之后，洛必达法则就能帮助我们解决“”型的高考压轴题.

本题很容易想到分离变量的方法把参数分离出来，然后对分离出来的函数g（x）=+1求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当x=1时，函数g（x）值没有意义”这一问题，很多考生陷入困境.如果考前对优秀学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.

2.（2010海南宁夏理21）设函数f（x）=ex-1-x-ax2

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解析：（1）略；

（2）当x≥0时，f（x）≥0，即ex-1-x≥ax2.

①当x=0时，a∈R；②当x>0时，ex-1-x≥ax2？圳a≤.

记g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）=.

记h（x）=（x-2）ex+x+2，x∈（0，+∞），则h′（x）=（x-1）ex+1，当x∈（0，+∞）时，h″（x）=xex>0，所以h′（x）=（x-1）ex+1在x∈（0，+∞）时单调递增，且h′（x）>h′（0）=0，所以h（x）=（x-2）ex+x+2在x∈（0，+∞）时单调递增，且h（x）>h（0）=0，因此当x∈（0，+∞）时，

g′（x）=>0，从而g（x）=在x∈（0，+∞）时单调递增.由洛必达法则有：

g（x）====，即当x→0时，g（x）→，所以当x∈（0，+∞）时，g（x）>，因此a≤.

综上所述，当x≥0且f（x）≥0时，a的取值范围是a≤.

洛必达法则是数学分析中的一个重要的求不定式极限的方法.在分离参数之后，洛必达法则就能帮助我们解决“”型的高考压轴题，分离参数是广大学生容易想到而且易于操作的一个方法，只要掌握了洛必达法则，就能突破瓶颈顺利地解决这类求参数的取值范围的问题.

通过以上例题对洛必达法则的应用对比，我们可以感受到高等数学对初等数学的指导作用，感受到高等数学的优越性，从而激发学生学习的兴趣和动力.随着新课标的推进，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐，这似乎也是新课标命题的一种趋势和方向.因此，加强对高等数学在中学数学中应用的研究就显得很重要也很必要.

参考文献：

[1]王海光.巧用洛必达法则解高考题[J].中学生数学，2017（1）：47-48.

[2]唐伟.洛必达法则巧解高考数学压轴题：函数与导数中的参数问题求解[J].西藏教育，2014（7）.

作者简介：郝清鹏，男，1975年6月生，湖北十堰人，中学高级教师。2010年被评为湖北省优秀数学教师。长期从事高中数学教学研究工作。

？誗编辑 郭小琴