数学课堂教学研究：把握本质、指向思维

□　海南省洋浦中学　黄发长

□海南省洋浦中学黄发长

一、释题：

1.把握教学内容的本质。

刚走上讲台的年青教师一般会有一段时间痛苦于学过的理论不能在课堂上运用，自己的教学停留在教教材上。甚至不知道知识目标教学这样的评价概念，到了后来写出了所谓的三维目标，其中过程与方法、情感态度与价值观两个维度的目标也大都是纸上谈兵，千篇一律的现象非常普遍，普遍到怀疑自己写后三维目标的用处。

好多年前，我曾梦想拥有一种教学模式——没有固定教材。教学围绕学科知识体系，以其框架为线索，单个课时设计相关命题或问题，教师引导学生在解决问题过程中，概念、定理自然生成，伴随抽象、分析、归纳、同化，教学目标在探索过程中得到落实。还梦想着这种课堂模式完全没有我们课堂“一统天下”的五段式教学设计（或五环节教学，即引入复习、新课讲解、巩固提高、小结归纳、布置作业）的严格框架，更没有“下面，我们学习××，这是××考试的必考内容”等类似将学习结果明晰指向考试分数的话语。一课时的活动看起来很随意，整个课堂始终跟着学生的思考走。学生思维是指向终极目标——创造性思维的，是可持续发展的。

多年的实践探索，我以为挖掘、激励学生潜力，培养、发展学生创造力应该是课堂教学的核心关注。从学生创造力发展规律来说，一节课的教学设计有一个或多个（多数情况下应该有多个）预案，教师作为组织者，根据自己的经验、根据课堂实际进展适时选取、调整、修正或补充原有的相关设计。教师关注的（或者说围绕的）的重心是学生的好奇、想像、疑问和批判思维发展之需要，课本（教材）充其量是类似《新华词典》一样的工具，作为科学和规范以一个直观形象的存在帮助学生把新知识纳入相应的结构体系。新的知识点好比一次马拉松比赛终点的那条冲线，学生是这次比赛的主角、看点和成长对象，教师是赛前帮助运动员（学生）成长的教练和比赛时跑道外的服务员。

2.数学课堂教学应重点关注思维。

“数学的基本特征是：高度的抽象性和严密的逻辑性，应用的广泛性与描述的精确性，研究对象的多样性与内部的统一性。数学是一个有机的整体，它像一个庞大的、多层次的、不断生长的、无限延伸的网络，高层次的网络是由低层次网络和结点组成的，后者是各种概念、命题和定理。各种层次的网络和结点之间是用严密的逻辑连接起来的。”（注：中科院张恭庆院士语）

课堂教学的核心关注是帮助学生构建学科知识体系，并能通过教学促进学生主动补充、完善学科知识结构。数学课堂教学把关注重点放在对思维的研究，显然是根据数学自身特点来决定的。关注学生思维，从可持续发展角度看，关键在于解决一个矛盾，即处理好各种思维习惯的养成与各种思维习惯定式的突破之间的矛盾。

二、理论与实践

数学课堂教学要讲数学，这是共识。数学是锻炼思维的体操，数学课堂关注学生思维是重中之重。

1.数学课堂教学要注重学生思维的启动。

要学生主动思考，舍弃解题套路，明确知识的来龙去脉，数学课堂教学就要注重引导学生启动思维。学生思维打开了，自主提出、思考并理解问题，总结思想方法，这就是学生的成长内涵。

下面以《二元一次方程组的解法》第一课时为例具体谈一谈对学生思维调动的方法，以及存在的误区。

（1）在网上随意百度的一篇教学设计（部分），是所谓传统的五环节教学模式的典型代表。

①复习引入：

1.什么叫做二元一次方程？

2.什么叫做二元一次方程组？

3.什么叫做二元一次方程组的解？

4.由 x+4y=-15得 x=______，或 y=______.

②授新（见下左图）：

③巩固练习（见下右图）：

④小结：

通过本节课的学习，你有什么收获？有什么感想？

⑤作业布置：（略）

这个教学设计曾经（现在也依然流行）统治或者说至少是绝大多数一线教师在课堂教学中所采用的五环节教学法：复旧引新、新课讲解、巩固提高、课堂小结、布置作业。每个环节名称的具体描述不一定相同，不过内容大致一样。

这篇教学设计存在两个明显的疑问：

其一，复习引入应从学生最近发展区出发，其意义更值得研讨。如该设计中第4个问题，多数课堂热衷使用，其原因是为代入法作铺垫。可是，我还清楚地记得我上学那会（30多年了），当老师要我填空时，我首先想的是，要求出未知数的值？而我既感觉不能求出来，又不敢确认自己的感觉是否正确，我纠结于如何解这个方程。当老师带领我们用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数时，我是云里雾里的状态，我不知道这个方程是不定方程，不可能求出唯一的数值化的解，也不知道老师这么做的目的是为了后面用代入法解二元一次方程组作准备，在我看来老师的做法就是个游戏，是个无趣的游戏。换句话说，我没有指向课堂后续内容的需要，没有指向发展或成长思维的启动，有的顶多是被老师牵着做了个无趣游戏而已。

其次，例题的讲解与巩固练习的关系是典型的“葫芦与画瓢”的模仿式关系。试问：对于解一个二元一次方程组为什么非得先研究代入法？难道代入法比加减法简单？难道具备代入法特征的方程组一定是学生先碰到？这些可以随时想到的简单问题很容易被教学设计者忽略，而它们涉及到课堂教学的核心问题，那就是学生主动式成长性思维是否得到了启动？

（2）教学要追求自身的规律，不能走形式、赶时髦，否则会失去本真。下面的设计（部分）也是来自网络，从教学过程“二、探究新知”开始截取。

如果一个全虾堡比一杯圣代多6元，买一杯圣代和两个全虾堡共需30元，你能算出一杯圣代多少元吗？一个全虾堡是多少元呢？

【活动方略】

教师出示问题，学生回答，教师引入新问题。

【设计意图】

通过问题情境，激发学生学习兴趣，引出解二元一次方程组的学习。

观察你所列的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？能否将二元一次方程组转化为一元一次方程，进而求得方程组的解呢？

分析我们发现，二元一次方程组中第一个方程y－x＝6可变形为y＝6+x，再将第二个方程x＋2y＝30中的y换为（6+x），二元一次方程组就化为一元一次方程。解这个方程，得x＝6，再把x＝6代入y＝6+x，得y＝12，从而得到这个方程组的解。

归纳：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

对这个教学设计，有以下几个问题值得考量：

其一，联系实际导出问题，让学生体会数学来自生活实际，这快成为当下中小学数学课堂的主流。本文也是“通过问题情境，激发学生学习兴趣，引出解二元一次方程组的学习”。经验丰富的教师知道，这种设计在实际教学中往往会出现两个问题：首先，所谓的实际问题引入激发兴趣，可事实是学生（至少有部分学生）不能准确列出方程或方程组，从而出现课堂重难点偏移，如果想避免这种偏移，教师直接拿出结论（列出方程组，忽略构建方程组的过程），学生带着疑惑进行后续活动，请问学生兴趣何在？另外，学生列出的方程可能是一元一次方程，而不能（解方程组没有学，学生的潜意识中第一反应肯定是一元一次方程）列出二元一次方程组。即使教师强行要学生寻求第二种方法，那可能也是算术法，这种情形下，请问如何引出新课？所以，彭翕成博士说“数学课的主要（或首要）任务是教数学、学数学、解数学问题。而不是解决实际问题。将实际问题化为教学问题，这并不是教学的主要任务。这种能力的培养需要各门学科（如理、化、生、通用技术、信息技术等等）的综合，不能全由数学课来承担。”

其二，在设计预设中，看到学生思维被忽视的影子。如“二元一次方程组中第一个方程y－x＝6可变形为y＝6+x，再将第二个方程x＋2y＝30中的y换为（6+x），二元一次方程组就化为一元一次方程。”教学过程中，教师要尽量想办法让学生“思”起来，然后在科学、恰当地引导下，使课堂活动随着学生所思所想而动，这才是有效教学的前提。本预设中“二元一次方程组中第一个方程y－x＝6可变形为y＝6+x”，试问此设计老师凭什么肯定学生列的第一个方程是yx＝6？这好比一场战役开始前，作为指挥者的责任主要是制定战略战术，至于士兵具体如何握枪、如何扣动板机，这些绝不是制定作战计划时该考虑的问题。

（3）启动学生思维，重点是引导学生主动思考，要注意思维指向不能偏离。解二元一次方程组第一节课把知识目标定为对代入法、加减法初步的整体感知，第二、三节课对代入法、加减法进行深化研究和提炼，这样处理学生对方程组的解法才可能易于同化，对消元思想的理解才能深入，学生思维才能顺乎自然。我在自己的课堂中经常是这样做的：

首先从分层教学、因材施教的角度出发，要学生按自己的理解写一个由两个二元一次方程组成的方程组，尽量写自己可能会求解的二元一次方程组。写完后，同周围的某个同学相互交换方程组，试着解对方提供的方程组。接着由提供方程组的同学给对方讲解自己写方程组时的构想，做题者再谈自己的解题体会，讨论的主题是解方程组的方法（或设想）、解方程组的疑惑。然后，让每位同学再写至少一个二元一次方程组，要求是自己不会解，或者估计其他同学不会解。之中，教师有意识地把比较典型的方程组在全班展示，如下面两组方程是我曾经的课堂上学生写的比较典型的方程组。典型方程组展示出来之后，先让学生独立思考这两个方程组各自的解法，最后找学生演排，并组织全班评讲及其他解法展示、交流。

我设计这节课的想法是把握从特殊到一般的思想，从学生现有理解层次出发，以对策（解法）反构特征（当然学生此时并不知道自己所写方程组的特有特征）方程组、抽象出典型特征方程组及解法、寻求一般形式的方程组及解法。归纳提升二元一次方程组的概念及解法，经历这些过程的同时要特别注重数学感觉的培养。在整个探索过程中，提出问题、分析问题、解决问题、总结问题是在教师的引导下，学生思维自然自觉打开的。

2.数学课堂教学要注重思维品质的培养

人有哪些思维品质？哪些又是与数学重点联系的品质？哪些是与生俱来的？哪些是可以通过一定的方式方法进行培养的？尤其是数学课堂教学中能有效培养的？这些问题的答案可以不断更新，这些问题值得探讨，每次自觉思考这些问题会有不同层度的成长。以下，我的思考只能说是在追寻这些问题答案过程中一些小经验、小见解。

如果给思维附加定语，可以得到很多偏正词组，如逻辑思维、分类思维、类比思维、结构思维、整体思维、发散思维、聚合思维、批判性思维（审辩式思维）、创造性思维等等。在数学课堂教学中，哪些思维是常见的？如何对学生进行培养？关于这两个问题，下面举两个例子进行几个侧面的剖析。

（1）《有理数的加法》课堂教学之引入方法

对于初一的学生来说，加法不是陌生概念，那为什么还要学习呢？原因在于初中在小学学习的基础上引入新的数——负数，数得到了扩充，数扩充后，曾经的加、减、乘、除等各种运算规则是否改变？这个问题对层次好的学生是个自然会想到的问题，对于层次差点的学生，在老师的引导下他们也是可以提出类似问题的。

按教师对学生的了解，下面分熟悉或不熟悉介绍不同的引入方法。下文所说的熟悉，是对我本人而言，指我自己的学生，不熟悉是指我曾经在各种场合上示范课等类型课时，借用其他班级上课时的学生。

熟悉的学生。（注：课堂实录，片段）

师：前面我们一起认识了“有理数”，以及三个“工具”（数轴、相反数、绝对值），还掌握了两个有理数的大小关系。在学习的过程中，我们还了解了一些词语的涵义，比如“规律”、“分类”。数学学习中对一个知识点的学习过程，其实也是按一定的规律来进行的。一般来说，都是先认识它，知其名，然后解剖它，知其义，最后再运用它，知其用。在引入负数后，我们所学习的数的范围扩充到了有理数，接下来，我们就有必要重新“审视”我们过去的各种运算，并找寻之中的规律。今天，我们先研究有理数的加法。（板书课题）

根据有理数的分类，两个有理数相加，可以分成哪些不同的类别？

（预想答案：ⅰ）两个正数相加；ⅱ）两个负数相加；ⅲ）一个正数与0相加；ⅳ）一个负数与0相加；ⅴ）一个正数与一个负数相加。）

师：在上述类别中，哪些是小学已经学过的？哪些没有学过？没有学过的将是本节课研究的重点问题。

【说明】ⅰ）帮助学生理清知识脉络，也就是建构知识体系，让知识以“块”或“结构”的形式进行内化；ⅱ）对规律、分类等词语的涵义进行强化，明晰学习、探究问题的方法；ⅲ）有理数分类一般有“三分法”（见下左图），“二分法”（见下右图），课程标准和现行教材对二分法一般不作要求，有的已删减。

陌生（主要针对公开课、比赛课等而言）的学生，下面按学生水平层次分两类分别介绍引入方法。

①对已学内容掌握的比较好的学生。（注：课堂实录，片段）

师（直接板书课题）：（手指课题）加法？有必要学吗？为什么？

（预想答案：有必要学习。因为引进负数后，有些加法规则就可能要变了，比如两个负数相加等于什么？一个正数与一个负数相加又等于什么？还有0与一个负数相加会等于什么？）

②对已学内容掌握的不够好的学生。（注：课堂实录，片段）

师（直接板书课题）：（手指课题）当引入负数后，负数参与了运算，原来的运算法则会进行相应的变化。今天，我们先从两个数相加进行学习。请大家先试做或猜想下列各题的结果，然后我们一起“验证”，最后争取总结出规律。

【说明】对照有理数加法法则，先让学生猜想计算结果，加强感性认识，再引导学生进行验证，培养理性思维，最后总结规律，并加以运用，构建知识体系，学生易于接受，也乐于接受。

从培养学生思维品质的角度审视以上有理数加法新课引入的方法，我们可以窥见：提出问题、推广问题是多运用到逻辑思维，在分析问题时多用到分类思维、类比思维，在归纳总结过程中，结构性思维会发挥巨大作用，而这些叠加在一起，学生的创造性思维也就自然得到了发展与培养。

（2）在数学课堂教学，尤其教学比武类的课堂教学中，单节课容易以碎片的形式出现，授课者、评课者也往往忽视教学的长期性、缺乏整体性的思考。下面以《特殊的平行四边形》一章的教学设计为例（本文因篇幅所限，仅以部分内容围绕设计与教学进行探讨），大体论述一下教师在教学中对整体章节教学的关注方法，重点探讨整体性思维培养的策略。

对这章的学习，学什么？发展什么？按传统应付考试拿高分的目标，关于知识点（定义、判定、性质）的教学无疑是重中之重，导致模仿式、机械式学习占有大量市场，主动探索，提出问题、解决问题相反就成了教学的附属品。这章蕴含的理性美，诸如逻辑美、简洁美、对称美、公平与公正（平衡之美）就会被忽略掉。显然，这样的教学是有失偏颇的，是要纠正的。

平行四边形、矩形、菱形、正方形，对初中生而言，这些在小学时他们已有感性认识，层次好的学生可以大致分清它们的隶属关系。以华东师大版教材为例，这章在定义、性质、判定的规范上，是一个完整严密的体系，其与自然是融合的。下面以特殊平行四边形的同层级图形，即矩形、菱形的判定为例说明其来自自然，又被提炼后的这种融洽、和谐之美。矩形有两个判定，一个是关于角的，建立在四边形的基础上：“平面中有三个角是直角的四边形是矩形”；另一个是关于对角线的，建立在平行四边形的基础上：“对角线相等的平行四边形是矩形”。菱形也有两个判定，一个是关于边的，同样建立在四边形的基础上：“四条边相等的四边形是菱形”；另一个是关于对角线的，同样又建立在平行边形的基础上：“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。在这里，平行四边形、矩形、菱形的关系之融洽，可以把平行四边形比作父辈，矩形、菱形好比是一对双胞胎儿子，判定定理好比父母送给双胞胎孩子非常公平的礼物。具体看其判定的“公平之美”，我们会发现矩形定义中关注了角，“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，于是它的第一个判定以角作为切入点；而菱形的定义关注的是边，“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，于是它的第一个判定以边为切入点；作为本章研究图形的三个切入点之角、边、对角线，前面的判定用到了角与边，剩下的就只有对角线了，“所以”在对角线上矩形、菱形都存在判定。公平、公正存在于自然中，在教材判定布局中，正是抓住了公平之特点，其判定看起来才那么自然、和谐，充满着理性美。

综合以上分析，对这章的学习，完全可以打破教材编写框架，结合学生的实际情况，把平行四边形、矩形、菱形、正方形结合为一个整体，从定义、判定、性质出发，以结构形式、语言逻辑、演绎关系为研究入口，灵活设计进行教学。比如对定义的教学，可以把平行四边形、矩形、菱形、正方形结合起来作为一个整体进行研究。因为首先，从形式上看平行四边形定义在四边形图形的基础上，矩形、菱形建立在平行四边形图形上，正方形也建立在平行四边形图形的基础上。作为第三层级的正方形，其定义为什么不定义在矩形或菱形的基础上？若定义在矩形或者菱形基础上，一方面其形式结构是不美的、不对称的，也是“不公平”的；另一方面，从数学感觉（感性认识）上看，平行四边形强调的是平行，“两组对边平行的四边形是平行边形”，矩形强调的是正（角为90°为正），菱形强调了长度（四条边的长度）相等，而作为第三层级的正方形在这里有如大海，大海海纳百川，所以它建立在平行四边形的基础上，强调正、也强调了长度相等，“有一个角是直角、且有一组邻边相等的平行四边形是正方形”，这样更符合它们间的隶属关系。其次，从语言上看本章蕴藏的逻辑美、简洁美更值得进行整体教学，这样容易在比较中发掘特质，给人以深刻印象。如对于矩形、菱形的定义，矩形定义中说“有一个角是直角”，为什么不说四个角是直角？因为由三线八角、多边形内角和公式、平行四边形的定义等轻松推出另三个角是直角，既然可以推得，所以就只需说一个角是直角了，否则说“四个角是直角的平行四边形是矩形”，那就重复啰嗦了；类似的，菱形的定义也是如此，只需说邻边相等，就自然可推得四条边相等。把定义作为一个整体进行教学，让学生体会到定义的建构之美，这也是属于自然本身的魅力。

3.数学课堂教学终极关注为创造性思维的发展

“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。？”（东北师范大学史宁中教授语）“数学教学到底教什么呢？根据数学核心素养的要素，可以很自然地得出：数学教学应该教理解、教思维、教思想方法。（华东师范大学出版社基础教育分社李文革语）

下面以《整式的乘除》第一单元第二课时《幂的乘方》教学为例，介绍对学生潜意识的发掘，及对学生创造性思维的关注。后面课堂实录着重于真实记录课堂上给学生营造自由环境后，学生好奇心渐涨、思维打开后的教学效果。

《幂的乘方》是《整式的乘除》这章铺垫单元第一单元4个课时的第二课，第一课时是《同底数幂的乘法》，第三课时是《积的乘方》，第四课时是《同底数幂的除法》，前三个课时相对是一个整体。由于这章内容依课程标准、教材（华东师大版）安排在八年级（初二）学习，与之前七年级（初一）学习的有理数的乘方运算在时间上相隔太久，所以对这三个课时的学习，我将其分为两个阶段。第一阶段引导学生专门研究《同底数幂的乘法》，除达成应有的知识目标之外，在研究方法、知识点的回顾与储备上为后续研究作准备。第二阶段将第2、3课时的内容揉合在一起，分两至三个课时进行学习：首先，在前面第一课时的基础上，调动学生的好奇心，给学生充分的时间，让他们展开想象的翅膀，结合分类思想、类比思维，猜想、分析，并把所思所想（包括疑问）通过展示的方式表达出来（下面记录的两个课堂片段，就属于本内容的教学实录）；其次，在上述学生展示的基础上组织学生分析他们交流展示的内容；最后，再结合教材内容规范地将其进行归纳总结。

［课堂实录●片段］

课前问题设计：上节课我们学习了同底数幂的乘法，我相信大家昨晚按以往的习惯对该内容进行了温习，同时在上节课内容的基础上进行了一定的拓展。下面，请同学们就温习中思考或碰到的疑问，以及对新课的预想（猜想本节课将要研究的内容），以代数式的形式表示出来。大家先独自思考3分钟，3分钟之后，大家可以自由地、轮流上黑板把自己所想写在黑板上。（注：以下是同一天在两个不同班级上课时，学生写在黑板上的代数式，以学生演排顺序进行记录。）

●三班：

如果仔细研究学生的思考，会有很多的结论。比如把两个班的情况进行对比，会发现至少有如下几点特别突出：

其一，给学生思考的自由，就会有奇迹。结合数学本身的特点，调动学生的主动性，学生完全可以通过自己的创造性思维品质轻松推得将要学习的新知识点。如四班第一位同学在思考：上节课学的是“同底数”幂的乘法，那“同指数”幂的乘法会是什么情况呢？这实际上是教材安排的第三节课内容《积的乘方》中公式（ab）n=anbn的逆用。相比之下三班的第一位同学看起来，好像写了很好笑（不能再计算）的式子（a2b3），但他有思考，他在思考：上节课学了“同底数”幂的乘法，要是底数不相同呢？四班这位同学是把指数与底数概念地位等同，主要运用了类比思维思考问题。三班这位同学呢？他是否定思维，或者说运用了审辨式思维。现在，你能判断这两名同学孰优孰劣吗？显然不能，他们各自都有自己的优点，只是思考问题的角度不同而已。

其二，学生的水平层次决定他们的所思所想，两个平行班学生按通常所谓优、中、差水平层次来说，各类层次的人数都差不多，所以他们的思考几乎也是类似的，这是很奇妙的现象。比如两个班都有学生提到243（（-3）2×243；3a=243,求 a），究其原因（事后我也咨询过当事学生），原来他们在学习有理数乘方运算时曾在做作业时遇到过243=35，而当时觉得很好奇（好奇在243的末尾数是3，为奇数，可243=35），于是就记下来了，至今印象深刻。还比如两个班学生都提到了绝对值，其原因在于这两个学生在过去学习中，他们害怕有绝对值参与的运算，所以在课堂上提出来，想让别人帮助他解惑。

另外，前面演排的同学会对后面同学的思考与演排产生积极或者消极的影响，也就是前面同学的发言对后面同学发言存在暗示，它可能是积极的启迪，也可能产生消极的定势思维、负迁移，但所有的真实思考都是值得尊重的。为了尽量避免这种现象，所以在学生展示前给学生足够的时间独立思考是非常必要的。比如四班第一位同学写的代数式没有用字母，而用的具体数，这一点直接影响了紧接着上台演排的后两位同学，他们也都用具体数字来描述所思。而第四位演排的同学又开始用字母了，为什么？其实他很可能在老师提出问题后，3分钟的独自思考时间里就想好了，只是没有第一个上台演排而已。