基于板单元形函数的简支T梁桥车桥振动分析

2018-07-17陈代海马凤瑞

铁道科学与工程学报 2018年7期

陈代海，李　整，马凤瑞

(郑州大学土木工程学院，河南郑州 450001)

随着我国经济的快速发展，交通量日益增大，车辆载重、密度及行驶速度显著提高，车流形式趋于复杂化，公路桥梁的车桥耦合问题已不容忽视。相比于铁路桥梁，公路桥梁的宽度较大，桥型以多片式梁或宽箱梁桥为主，多片式简支梁桥作为所有桥型中最常见的一种，在公路交通中得到了相当广泛的应用。目前，对于简支梁桥的车桥耦合振动已有不少的研究成果，蒋培文等[1−2]通过 ANSYS的APDL语言编制计算机程序，分析了主梁刚度下降、车辆匀变速、桥面局部凹陷等因素对简支梁桥车桥耦合振动响应的影响；陈水生等[3]采用Runge-Kutta数值算法通过 Matlab语言编制相关程序研究了多车激励下简支梁的冲击系数；桂水荣等[4]研究了移动车辆荷载作用下多片简支梁桥的振动响应及冲击系数。已有的研究大部分是基于简支梁桥的梁单元模型，通过梁单元的形函数来实现车桥耦合关系。本文结合多片式梁桥通过桥面板传递汽车荷载给主梁的实际情况，提出一种基于矩形薄板单元形函数的公路桥梁车桥耦合振动分析新方法。在此基础上，针对目前公路简支梁桥上日益严重的超载超速现象，重点研究了不同车速下重载汽车在车队中的位置、数量及间距对桥梁冲击系数的影响规律。

1　多片式梁桥车桥耦合振动分析原理

将车桥耦合振动系统分为汽车和桥梁2个分离的子系统[5−6]，分别利用虚功原理和有限单元法建立汽车与桥梁的运动方程，两者之间通过车轮与桥面接触点处的位移协调条件与相互作用力的平衡关系相联系，采用迭代法求解车桥系统的动力响应。

1.1　汽车模型及其运动方程

汽车采用弹簧、阻尼元件相连的多刚体模型，以两轴的 1/2汽车模型为例，其共有 3个刚体：1个车体和2个车轮，刚体之间通过弹簧和阻尼元件相互连接[7]，如图1所示。

其中，M和J分别为车体的质量和绕横轴的转动惯量；m为构架和轮对质量之和；ku和kd分别为为上、下层弹簧的刚度系数；cu和cd分别为上、下层阻尼元件的阻尼系数；r1和r2分别为前、后车轮接触点处的路面粗糙度；车体考虑2个自由度，分别为竖向位移z和绕横轴转角θ，每个车轮被赋予1个竖向位移自由度(z1和z2)，整个模型共计4个自由度，位移方向以图示所示方向为正，其待求未知位移为

根据虚功原理，汽车模型中做虚功的作用力主要有：惯性力(Mz˙，Jθ˙，11mz˙，22mz˙)，悬置力uiF，轮胎力diF。其中，

式中： (,)Nxy为单元形函数；biz为第 i个车桥接触点所在桥梁单元的节点位移；r(x)i为第i个车桥接触点处的桥面粗糙度值。

图1　1/2汽车模型作用于桥梁的示意图Fig.1　Diagram of the bridge subjected to 1/2 vehicle model

由广义虚功原理可知，外力对汽车模型所做的虚功之和应为0，即：

将式(2)～(4)代入到式(5)，得到：

将式(6)写成矩阵形式，得到汽车的运动方程为：

按照“对号入座”法则，得到 Mv，Kv，Cv和Fv的表达式如下：

1.2　桥梁模型及其运动方程

桥梁采用弹性连续体模拟，常用梁单元来离散。以其在无汽车荷载作用下的平衡位置为初始状态，由常规的有限单元法得到桥梁自身的质量矩阵Mb，刚度矩阵Kb和阻尼矩阵Cb，桥梁的运动方程为：

Fb为作用于桥梁上的荷载向量，单个车轮施加给桥梁的作用力可表示为：

式中：GiF 为第i个轮胎分担的车辆重力。

1.3　基于板单元形函数的车桥耦合关系

1.3.1几何耦合关系

在车轮与桥面始终接触的情况下，车辆和桥梁在车轮与桥面接触点处具有相同的位移协调条件。若车轮与桥面接触点处的路面粗糙度为 r(x)，则车轮在车桥接触点处的竖向位移可表示为[8−9]：

其中：wb为接触点处桥面的竖向位移。

以汽车的左前轮为例，在汽车行驶过程中的某一时刻，车辆的左前轮位于由桥梁单元节点i，j，k和m组成的桥面板内，如图2所示。

图2　车轮与多主梁桥面的几何耦合关系Fig.2　Geometrical coupling relationship between wheels and multiple girder bridge deck

接触点处桥面的竖向位移可由矩形薄板单元内任一点的位移来表示，即

N1，N2，N3，…，N12的具体表达式见参考文献[10−11]。zb为桥梁单元节点i，j，k和m的位移，可表示为：

其中：z，φ和θ分别为节点的竖向位移、绕X轴的转角和绕Y轴的转角。

车轮在车桥接触点处的竖向速度可表示为：

假定汽车在纵桥向以匀速v行驶，在横桥向无速度，则

1.3.2力学耦合关系

车桥耦合振动系统中，汽车与桥梁之间的力学耦合关系体现在车轮与桥面接触点的相互作用力。在竖向激励作用下，第i个车轮所受竖向荷载为：

单个车轮施加给桥梁的作用力见式(13)，当车轮与桥面接触点位置位于由桥梁单元节点 i，j，k和m组成的桥面板内时，如图3所示，车轮施加给桥梁的作用力可以等效到桥梁单元节点上，即：

2　多片式梁桥车桥耦合振动分析方法及算例验证

2.1　车桥耦合分析方法

对于汽车−桥梁耦合系统，将汽车和桥梁运动方程分别独立求解，通过分离迭代来满足车桥2个子系统之间接触点处的位移协调和车桥相互作用力平衡条件。在每个时间步内，分离迭代法求解汽车−桥梁系统运动方程的具体步骤如下：

1) 将上一迭代步的桥梁动力响应作为初始迭代值，结合当前时刻的路面粗糙度，由式(11)求得汽车所受到的作用力Fv；

2) 采用 Newmark-β法求解式(7)得到当前迭代步的车辆动力响应；

3) 由式(13)计算每个车轮施加于桥梁的作用力(其中的弹性力和阻尼力若为拉力，则表明车轮与桥面脱离，此时车轮施加给桥面的力应置为0[12])，形成桥梁的荷载矩阵Fb；

4) 采用 Newmark-β法求解式(12)得到当前迭代步的桥梁动力响应；

5) 对比当前迭代步和上一迭代步的桥梁位移，制定收敛准则。若桥梁位移不收敛，则重复步骤1)～4)直至车桥的位移耦合关系和相互作用力平衡条件满足要求；若桥梁位移收敛，则进行下一时间步的计算。

基于上述车桥耦合振动分析方法，运用Visual Fortran6.5语言编制了汽车−桥梁耦合系统的动力分析程序，程序框图如图3所示。

图3　汽车−桥梁耦合系统空间振动分析程序框图Fig.3　Block diagram for spatial vibration analysis of vehicle-bridge coupling system

2.2　算例验证

2.2.1车桥耦合振动分析方法的算例验证

为验证车桥耦合振动分析方法的正确性，以一个弹簧−质量体系为研究对象，其中移动质量块为m=101 978.8 kg，支撑质量块的弹簧刚度为k=1.00×1011N/m，计算其以v=36 km/h的速度匀速通过简支梁桥时的车桥动力响应，如图4所示。其中，桥梁参数为：跨径 l=30 m，单位长度质量 m=2 549 kg/m，抗弯惯性矩I=0.45 m4，弹性模量 E=3.45×1010N/m，泊松比μ=0.2。与通用有限元软件Ansys的计算结果进行对比分析[13]，桥梁跨中竖向位移对比如图5所示。

图4　弹簧−质量体系匀速通过简支梁桥示意图Fig.4　Spring-mass system moving through simply supported beam bridge at constant speed

图5　桥梁跨中竖向位移时程比较Fig.5　Comparison of vertical displacement of bridge’s mid-span

由图5可以看出，由本文程序和Ansys计算得到的数据结果吻合较好，说明采用上述车桥耦合振动分析方法编制的计算程序可用于车桥耦合系统的振动分析，且相比于通用软件 Ansys，本文程序的计算效率要高。

2.2.2基于板单元形函数的车桥耦合振动分析方法算例验证

为验证本文提出的基于板单元形函数的车桥耦合分析方法与自编程序的正确性和精度，参照文献[14]的车桥几何耦合和力学耦合关系，采用本文方法(简称为“方法 1”)和文献[14]的方法(简称为“方法2”)对某简支梁进行分析，桥梁结构尺寸参考文献[15]，选取20 t三轴载重汽车，车辆参数参考文献[16]。

计算过程中布置2个车道，第1和2个车道的中心线分别与②和④号主梁的中心重合。每个车道上行驶1辆汽车，2辆汽车同向运行，以60 km/h的速度匀速通过桥梁，不考虑桥面粗糙度的影响。图 6～7分别为采用 2种方法计算得到的桥梁动力响应。

图6　第1片主梁跨中位移时程比较图Fig.6　Comparison of mid-span’s displacement of the first main girder

图7　第1片主梁跨中加速度时程比较图Fig.7　Comparison of mid-span’s acceleration of the first main girder

从图6～7可以看出，采用本文方法计算得到的车桥动力响应与文献[14]的计算结果吻合较好。说明本文提出的基于板单元形函数的车桥耦合分析方法与文献[14]的方法在理论上是一致的。但在进行两片主梁之间的车轮荷载横桥向分配时，方法 1利用板单元形函数，而方法2采用“杠杆法”的思路。因此，本文方法可适用于车轮荷载使桥面板产生较大变形的情况，其可用于公路桥梁多片式梁桥的车桥耦合振动分析。

3　多片式简支梁桥的车桥耦合振动分析

3.1　工程概况

某多片式简支T梁桥主梁全长为19.96 m，计算跨径为19.4 m，全断面有5片主梁，如图8所示，设置5根横梁，如图9所示，材料采用C30混凝土，不考虑普通钢筋的影响。

图8　桥梁横截面Fig.8　Cross section of bridge

图9　桥梁横隔梁布置图Fig.9　Arrangement diagram of bridge’s diaphragm

3.2　冲击系数

根据冲击系数的定义，将桥梁响应的冲击系数μ定义为：

式中： Rdmax为动力分析时桥梁响应的最大值，Rsmax为相同工况静力分析时桥梁响应的最大值。

3.3　车桥耦合振动影响因素分析

基于上述多片式梁桥车桥耦合振动分析理论及方法，运用自编的计算程序，对某多片式简支T梁桥进行车桥耦合振动因素分析。全桥布置2个车道，其中第1和2车道的中心线分别与②和④号主梁的中心重合。选取20 t的三轴载重汽车(简称重车)和桑塔纳汽车作为加载车型，其车辆参数分别见文献[9]。计算过程中选取40，60，80和100 km/h 4种常见车速。

3.3.1重车位置的影响

为研究重车在车队中的位置对桥梁冲击系数的影响，在每个车道上布置一个车队，每个车队由1辆重车和4辆桑塔纳汽车组成，车辆间距为5 m。工况1：重车位于车队中第1辆车的位置，编号为1，依此类推，在每种车速下通过改变重车在车队中的位置形成5种计算工况。图10为不同车速下3号主梁跨中冲击系数随重车位置的变化曲线，图11为不同车速下车队中第1辆桑坦纳汽车车体加速度最大值随重车位置的变化曲线。

图10　不同车速下冲击系数随重车位置的变化曲线Fig.10　Impact coefficient changing with the position of heavy vehicle under different speed

图11　不同车速下车体加速度最大值随重车位置的变化曲线Fig.11　Acceleration of the car body changing with the position of heavy vehicle under different speed

从图10可以看出，在车速为80 km/h的工况下，桥梁的冲击系数随重车在车队中位置的改变，其值变化最明显，由1.03增大到1.07，增幅为3.2%，其在其他车速下变化不显著，说明在相同车速下，重车在车队中的位置对桥梁冲击系数的影响不大。同时，随着车速的提高，在同一车队作用下的桥梁冲击系数呈现增大趋势。从图 11可以看出，在不同车速下，随重车在车队中的位置后移，第1辆车的车体加速度最大值逐步减小。当重车在车队中的编号由2号变为3号时，即第1辆车与重车的距离由5 m增大到12.6 m，在车速为100 km/h的工况下，第 1辆车的车体加速度最大值由 0.70 m/s2减小到0.16 m/s2，最大降幅达到77.7%。因此，为防止车辆在行驶过程中振动过大，在车队过桥时应该与重车保持10 m以上的距离。

3.3.2重车数量的影响

为分析重车数量对桥梁冲击系数的影响，在每个车道上布置一个车队，每个车队均由重车组成，车辆间距为5 m，在每种车速下重车数量为1～5辆，分别计算5种工况。图12为不同车速下3号主梁跨中冲击系数随重车数量的变化曲线。

图12　不同车速下冲击系数随重车数量的变化曲线Fig.12　Impact coefficient changing with the number of heavy vehicle under different speed

从图12可以看出，在车速小于80 km/h的工况下，重车数量为2辆时的冲击系数要比重车数量为1辆时要大，但桥上重车数量增加到2辆后，其冲击系数变化较小。在车速大于80 km/h的工况下，随重车数量的增加，冲击系数呈现先减小后增大趋势，在车速100 km/h时，这种变化规律更明显。因此，桥上重车数量保持为2辆且车速控制在80 km/h以内，对桥梁相对有利。

3.3.3车辆间距的影响

为研究车辆间距对桥梁冲击系数的影响，在每个车道上布置2辆重车组成一个车队，在每种车速下车辆间距从5 m以1 m为增量步长增加到16 m，共计48种计算工况。图13为不同车速下3号主梁跨中冲击系数随重车间距的变化曲线。

图13　不同车速下冲击系数随车辆间距的变化曲线Fig.13　Impact coefficient changing with the spacing of vehicles under different speed

由图13可以看出，在车速小于80 km/h的工况下，随着车辆间距增大，桥梁冲击系数变化不大。在车速100 km/h的工况下，车辆间距在7～10 m，13～15 m范围内时，冲击系数随车辆间距的增加有增大的趋势，车辆间距在5～7 m，10～12 m范围内时，冲击系数随车辆间距的增加有减小的趋势。随着车辆间距的增加冲击系数的取值是波动的。总体上看，车速越大，桥梁的冲击系数越大。