数学问题解答

2017年12月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2396形如n=16a(16b+15)(a,b∈N)的正整数不能表示成14个整数的四次方和.

(浙江省富阳二中许康华 311400)

证明由x4≡0,1(mod16),得对任意的x1,x2,…,x14∈Z,都有

假设当a=l∈N,∀b∈N结论都成立.

当a=l+1时,如果存在某个b∈N,使得

其中x1,x2,…,x14∈Z,则

所以x1≡x2≡…≡x14≡0(mod2),

这与归纳假设矛盾.

所以当a=l+1时,对一切k∈N,结论都成立.

由数学归纳法知,结论成立.

2397如图，四边形ABCD对角线相交于点O且AO=λOC．记∠ABO=∠1，∠ADO=∠2，∠CBO=∠3，∠CDO=∠4．求证：

(重庆市长寿龙溪中学吴波401249)

而AO=λOC，由此易得S△ABD=λS△CBD.

证毕．

2398设a,b,c>0,a+b+c≤3,求证：

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平712000)

证明记S=(a2+b2+c2+1)(abc).

应用5元算术——几何平均值不等式，得

S2=(a2+b2+c2+1)2(abc)2

(4ab)(4bc)(4ca)

所以S=(a2+b2+c2+1)(abc)≤4.

2399如图，已知⊙O上四点A、B、C、D，BA交CD于E，AC交BD于F，EF交⊙O于H、G，K为EF中点，以点A、K、C作圆交EG于T，求证：HF=TG．

(江西师范高等专科学校王建荣335000，温州私立第一实验学校刘沙西325000)

证明如图，由相交弦定理

KF·FT=AF·FC=HF·FG

和EF=2KF，因此

HF=TG

⟺KF·FT+KF·TG

=AF·FC+KF·HF

⟺KF(FT+TG)=HF·FG+KF·HF

⟺KF·FG-KF·HF=HF·FG

由面积比可知

满足三弦共点定理，

2400设△ABC中的三边长分别为a,b,c，外接圆和内切圆半径分别为R,r，求证：

(1)

(河南质量工程职业学院李永利467000)

证明设△ABC的半周长为p，

则a+b+c=2p，abc=4Rrp．

下面分4步进行证明.

(2)

2.由三元均值不等式

(3)

(4)

⟺(a+b+c)3≥27abc

而上式显然成立，故(4)式成立．

(5)

由(2)，(3)，(4)，(5)四式可知(1)式成立．

2018年1月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2401在任意△ABC中，求证：

(天津水运高级技工学校黄兆麟300456)

2402在△ABC中,a、b、c、ta、tb、tc,R、r分别表示三边长，内角平分线长，外接圆半径、内切圆半径. 则有

(浙江湖州市双林中学李建潮313012)

2403已知在△ABC中，∠C=150°，O是外心，I是内心，边AC延长线上的点D，边BC延长线上的点E，使得AD=BE=AB，如图所示．求证：

OI⊥DE，且OI=DE．

(北京市陈经纶中学张留杰100020)

试求f(O)+f(H)的所有可能取值.

(河南省辉县市一中贺基军453600)

(安徽省太和县第二小学任迪慧236635)