数学探究贵在发现性探索①

宋卫东　方厚石

(1.连云港市赣榆区教研室222100； 2.江苏省赣榆高级中学　222100)

倡导探究、合作的话题课改以来已经谈了十多年了，但是如何落实到高中数学课堂，如何落实到具体教学中，一直是数学教学探索的方向.数学探究已经对数学教学产生了深远的影响，不仅是教学形式的改变，更重要的是给学生提供了参与知识形成的过程.通过数学探究学生不仅获得数学知识，还经历了数学知识形成所必要的数学发现、数学分析和数学演绎，使得数学教学既有数学传授又有数学发现，有利于学生学科素养的形成.数学探究符合时代对数学教育的要求，是数学教学革新的一件好事.近年来，数学课堂中的数学探究形形色色，不免会有些鱼目混珠、低效无效的探究活动.如何进行有效的设计、组织和实施数学探究，是大家较关注的问题.本文，笔者以一节“直线点斜式方程”数学探究的设计、专家打磨和点评指导的经历，与大家分享有效数学探究教学的经验.

1　过程简介

1.1　指明方向，引导探究

师：要确定一条直线需要哪些条件?

学生：两点，一点与方向.

师：已知两点A(2,3)，B(2,5)和一点A(2,3)和斜率k=3分别画出直线.

学生动手实践,画出直线.

师：这两个条件之间有没有联系?

本质是一样的.

师：已知两点A(2,3)，B(2,5)你能给出直线的代数表示吗?

学生有的用y=kx+b，求不出来，有的画图写出直线AB的代数表示x=2.

追问：为什么用y=kx+b表示不出来?

学生说不清楚.

师：这至少说明用y=kx+b表示直线是不全面的，所以我们有必要对直线的代数表示进行系统、全面的认识.

师：解析几何是用代数来研究几何，点的代数表示是什么?

学生：坐标(x,y).

追问：直线斜率的代数表示呢?

师：它们都用点的坐标表示.

问题1：直线是无数点构成的，那么直线的代数表示也应该朝点坐标上想，下面同学们思考、探究已知一点A(x1,y1)与斜率k和已知两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线的代数表示.

1.2 放手学生，发散探究

教师借助几何画板演示已知点A(x1,y1)和斜率k所确定的直线l上一动点(即任意点)P(x,y)在变化，引导学生观察、寻找变中的不变.

师：很好！生1抓住变中不变的规律，用(＊)式表示直线有没有什么问题?

生2：(＊)式需要限制x1≠x.

师：x1≠x和直线上任意点(x,y)是矛盾，(＊)式表示直线有问题，是不是就否定了?

生3：把(＊)式改成y-y1=k(x-x1)

(1)

师：行不行？

学生一番思考后，确定可以！

追问：已知两点的情况呢？

学生想了想.

师：两点确定直线与一点加方向确定直线本质是一样的，生4得到的上式和(1)式一样，还有没有其他形式?

(2)

(x1-x2)(y-y1)=(y1-y2)(x-x1)

(3)

师：很好！这两个代数式都是直线的重要代数表示，我们后面将深入学习.

生5：老师！我还发现一种关系，直线上任意点P在直线上运动时，点P横坐标和纵坐标的变化都是按照定比发生的.

师：生5是从点P横坐标和纵坐标各自变化规律思考，你为什么会这样想?

师：很好！斜率定义就是用直线上纵横坐标变化量刻画的，你能给出横坐标和纵坐标的各自变化的代数表示吗？

追问：这个式子与(1)式有没有联系？

学生思考发现本质也是一样的.

师：生5的发现是非常有意义，(4)式是直线的参数表达形式.

生6：老师！(4)式我还有不同的表示方式.

师：把你的想法说说看.

生6：当点A和斜率k定时，点P在直线上运动，点P纵横坐标变化只跟AP的长度有关，所以，x=x1+APcosα，y=y1+APsinα.

师：漂亮！我们不妨把AP设为d，则

师：其实(4)式和(5)式我们在第一节中有一点和斜率画直线时已经应用过了，只是没有总结，生5和生6的思考非常有价值，他们超越了课本束缚，这是我们这节课的最有价值的发现之一，关于它们的学习将在选修部分还要重点研究.

1.3 回归目标，总结探究

师：这节课我们围绕直线的代数表达进行了探究、发现，课堂上，同学们没有拘泥于课本的现有结论，而是基于原有认知，从已知一点与斜率和已知两点两个不同角度进行了认真地思考，积极地探究、发现，得出直线的五种代数表达形式，这五种形式各有优点也各存不足，既有区别又有联系，探究中我们发现其他形式都可以转化为(1)式.接下来我们先从(1)式出发，探索直线方程的深层认识.

师：前面我们探究了直线l上每一点(包括点P)的坐标都满足方程y-y1=k(x-x1)，反过来，方程y-y1=k(x-x1)的解为坐标的点都在直线l上吗？

学生不语.

师：通过前面的学习，已知过一点A(x1,y1)与斜率k的直线的代数表达为y-y1=k(x-x1)，反过来，方程y-y1=k(x-x1)的解都在直线上，所以，我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.

…

2　教学感悟

回顾这节课，虽然内容没上完，但未完的是学生自己可以继续探索的数学美景，学生已经掌握了研究方法和方向，根据这节课的探究，学生完全可以自主得到直线的其他方程，因此这节课引入也就结束了，未完就是完.回味这节课，笔者最深的体会——学生的发现探究.教学中如何设计、组织和实施有效的学生自主探究，笔者认为要做到三点：一是教师对教学内容的本质认识和理解要深刻；二是数学探究的实施教师要给学生指明探究方向，指导探究方法，江苏省著名特级教师仇炳升老先生说过，导师的作用就是给学生指明探索方向，指导探索方法；三是数学探究课需要教师放手学生进行独立思考、探索发现，把课堂的话语权交给学生，让学生自己总结发现.

2.1　数学探究需要教师深刻理解与把握教学内容的本质

直线的点斜式方程是直线方程的起始课，也是学习解析几何的开始，所以对直线方程的本质认识和理解决定了本节课教学定位的高度和学生学习的深度.认识直线方程的本质必须研究清楚两个问题：一是什么是直线方程；二是研究直线方程的方向与方法是什么，以及这些方向、方法对后面圆、椭圆、双曲线和抛物线的方程的学习会有什么影响.这两个问题一个是知识，一个是方法，研究这两个问题，弄清这两个问题，围绕这两个问题设计教学，组织学生学习，自然，课上起来就不会乏味.关于直线的方程我们必须要清楚方程研究直线上任意一点P(x,y)的纵横坐标x,y之间的关系，有了点和斜率的代数表示，那么坐标是几何代数表示的主要方式，这是解析几何的本质，直线方程如此，曲线方程亦如此，教学中明白了这一点，我们也就不会把对直线方程的探究仅仅局限于一个点，一个内容，课堂自然就朝着发散，系统，整体的方向发展.教学中教师只有深刻理解教学内容的本质，才能抓住这个本质指明学生探究方向，指导学生探究方法，让学生朝着这个方向想，沿着这个方向探，学生的思维自然就会活跃起来，学生就会发现，这样的学习和探究自然是深刻的、有深度的.

2.2　数学探究需要教师为学生指明探究方向、指导探究方法

反思当前的数学探究教学，多数数学探究都过于浅显，探究内容过于指向，或只局限于教材现有的结论，学生无需探究只需翻书即可，缺少一些探索性探究和发现性探究.也有一些数学探究由于探究方向不明确，以至于学生无从着手，

课堂也无法进行有效的数学探究活动.本节课，笔者从点的代数表示是坐标，斜率的代数表示也是坐标，引导学生把直线的代数表示也朝坐标上想，于是提出了：直线是无数点构成的，那么直线的代数表示也应该朝点坐标上想，下面同学们思考、探究已知一点A(x1,y1)与斜率k和已知两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线的代数表示.问题1的呈现十分自然，既不突兀，又符合学生的认知梯度，而且给学生的探究指明了方向，同时，学生进行探究中，笔者通过几何画板动态演示，指导学生进行深度思考和有效探索.教学中笔者没有死板地照着教材，而是遵从学生的认知，放手学生从两个角度同时进行直线的代数表示探索，这样不完全受课本结论牵制，学生的思维得到激发与发散，学生根据教师的指导，沿着自己的思维进行深度的思考，才有了课堂丰富的探究结论，这些结论的发现正是数学探究最可贵的，最难的.

2.3　数学探究需要教师放手学生进行深度的探索与发现

数学探究能不能进行一些实质性的探索与发现不完全由教学设计的高度决定，还有学生的参与度和思考的深度.数学探究的实施要营造学生积极参与的氛围，首先要了解学生对所学知识的认知水平，学生对直线的已有认知水平是两点确定一条直线和一点加方向确定一条直线(这是第一课时内容).本节课的引入就是从学生熟悉的两点和一点加方向出发，通过点和斜率的代数表示的回顾，引导学生探索直线的代数表示的方向，这样的引导恰好抓住学生认知的最近发展区，为后面学生深度探究做好铺垫.其次，深度的数学探究需要教师抛开教学任务束缚，放手学生去发现，给学生充分的探索时间和空间，把数学探究的主动权交给学生.数学探究的核心价值就是学生亲自探索与发现的过程，这样的过程对学生增长知识，发展能力，提升素养有着不可估量的意义.直线的点斜式方程笔者教过不少遍，但是像这样放手探究还是第一次，像这样一节课给出五种直线的表示形式也是第一次，关键是都是学生给出的，这里有很多已经超出老师的预设和想象.笔者认为这样探索与发现，学生不仅对直线方程能够形成系统的认识，也为将来研究圆，圆锥曲线积淀思想与方法 ，这样既能教会学生，又能教学生会学的数学探究我们何乐而不为.

2.4　数学探究需要教师引导学生对结论进行严谨分析与论证

数学探究一个正在兴起的数学教学方式，大家积极探索和实践是好事，但它更需要我们正确的认识、理解和把握，让数学探究真正地引导学生进行有效探索与发现，让学生在探究获得发展，让学生的数学素养在探究中逐渐形成.笔者撰写此文既是一个数学探究教学，又是一个数学教学探究，希望它留给大家的不只是一个探究案例，探究经验，更多的是探究启发.