数学分析原理和方法在中学数学中的应用

杨立军 吉林省公主岭市大榆树镇中学校

引言：数学分析是学习数学的一门重要的基础课程，是几乎所有后续课程的基础，在培养后续的数学素养中起着重要的作用。自然学科中的所有重大发现都跟数学有着密切的关系，数学的重要性不言而喻，对于中学数学教学来说，更是解决各种数学难题的基础。下面从微分、积分、极限与中学数学之间的联系进行论述。

一、数学分析原理与中学数学的联系

数学分析是在长期的数学实践教学的基础上慢慢发展起来的，在解决一些较为麻烦的数学问题的时候，利用数学分析的方法可以为解题提供一些的新的思路和方法。通过利用数学分析的原理，我们可以站在更高的高度去看待问题，同时也可以借助初等数学的思想去解决一些高等数学的问题。

数学分析以极限思想为核心的教学内容，可以将事物的抽象变化过程转化为数学语言，有利于学生在中学阶段就开始培养辩证唯物主义的思想；另外数学分析作为高度抽象的思维模式，学生可以通过对数学分析原理的理解培养一定逻辑性和抽象性，可以在日常的生活中用更加全面的眼光看待问题；在平时的数学教学中融入数学分析的原理，可以丰富学生的思维思路和解题技巧，从而更容易激发出学生的发散思维。

由此可以看出，利用数学分析的方法进行教育是中学数学教育必不可少的方式和手段。

二、极限思想在中学数学中的应用

数学分析在中学数学的基础之上，延伸其思想方法，比如说极限法。极限的思想是数学分析原理的基础，也是最基本的方法。中学数学的为一般集中在定值和定形的问题上，与高中的函数和数列之间有着承上启下的关系。极限的思想是高中数学学习的一个重要的节点，会有很多看似无比抽象的问题需要用特殊的方式来进行解决，而这个方式就是利用我们的极限的思想。极限的思想就是人们要从有限中去认识无线，从量变中认识质变。数学教学的过程中总会遇到不少的数学题利用一般的解题方法会很复杂，在这种情况下，就可以用数学分析里面的极限思想来进行解题。

三、微分原理在中学数学中的应用

在中学数学的教学中，讨论函数的单调性、极限以及区间等一般所采取的都是根据定义的方式来进行计算，通过极值等性质可以看出一部分函数的单调性，一般采用的是描点画图的方式，但是这种解题方式存在一定的局限性和模糊性。在这种情况下，如果利用数学分析的方法，利用导数判断函数的单调性，求出精确的极值和拐点，然后利用极限画出渐近线，就可以精确的画出函数的图像，这种求函数单调性的数学方法就是数学分析中的微分。

不等式的证明在中学数学中也占据着很重要的位置，不管是解不定方程、三角方程、对数方程还是与函数相关的问题，这些问题在解决的过程之中，都可以利用数学分析的原理来进行解答。不等式的证明方法多种多样，并没有什么固定的模式。初等数学最常用的就是恒等变形、归纳法、利用重要不等式等方法，使用恒等变形就可以形成非负的项或者凑成重要的不等式，将解题的难度减小，同时也简化了解题步骤。这样的方法就是利用微分的中值定理和函数的单调性以及相应的定积分原理，从而使整个解题过程都变得简化。

解决恒等式的证明通常也需要很高的解题技巧，虽然有些时候是不能用微积分的技巧解决数学里必须有的恒等变形，但是它始终可以作为教学的辅助手段，在一定程度上帮助解决疑难杂题。另一方面，在解决中学数学阶段习题中的某些实际问题，也可以利用数学分析的方法，这样可以让整个解题西路变得便捷，也非常易于掌握。

四、积分原理在中学数学中的应用

积分学是由定积分和不定积分两个部分组成的。定积分是从极限的角度将其看作是特殊类型的极限加以定义的，它对于解决面积问题、弧长、体积以及近似计算等问题有着很大作用。除此之外，定积分在中学数学教学中，在一些固定给出的数学公式或者数学概念上，可以利用定积分进行推导和证明。中学数学教师将数学分析作为工具，可以快速并且便捷的计算出有关面积、体积的问题，帮助学生对于题目的深入理解，然后再选择适当的教学方式来对学生进行有效的讲解。

不定积分是从逆运算的角度将积分看作是微分的逆运算，定积分和不定积分在表面的定义上来看是完全不同的两种概念，但其实从微积分的基本定理来看，这二者是具有很大的内在联系的，可以将相当困难的定积分问题转化为通过求不定积分来进行解决。

用了数学分析的原理和方法，可以利用微分或者积分的方法对各种公式进行准确的计算，而且还可以提供给血症细致的分析过程，让学生更深入的理解数学思维，非常适合中学生的数学教学。

结语：著名的数学家、教育家乔治·波利亚曾经说过：“解题可以是人的最富有特征性的活动……假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应该在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指导的作用。”数学分析的思维能够很好的拓展解题思路，让数学中抽相互的概念变得具体化，它将数学思想、解题方法和数学知识整合为一体，将复杂的题目简单化，比传统的教学方式更加受孩子们的欢迎，也有助于学生创新、发散思维的不断发展。