基于儿童思维 构建几何直观

摘 要：数学家克莱因说过：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”几何直观作为最新提出的核心概念之一，得到了普遍的认可，但是由于受儿童的思维特质的影响，该概念在数学教学中的运用还存在一定的问题。因此为了更好地实现几何直观的价值，教师就需要依据儿童的思维，填补儿童的思维断层，使其得到长足的发展。

关键词：儿童思维；几何直观；表象；语言

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2018-03-07

作者简介：乔国锋（1976—），男，江苏苏州人，江苏省苏州市吴江区盛泽实验小学教师，一级教师，本科，研究方向：小学数学教学。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“几何直观”定位为十大核心概念之一，同时指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果，几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”由此可见，几何直观对学生的思维发展有着极其重要的价值，同时也是一种解决数学问题的思维方式，而这样的思维方式的建立对学生一生的数学发展都有着决定性的作用。但是由于“几何”本来带有一定的严格抽象的推理逻辑，对儿童而言是存在一定难度的。那么如何依据儿童的思维，填补儿童的思维断层，真正实现其发展呢？可以从以下几个方面做好铺垫：

一、重视儿童的直观感知

教育家夸美纽斯把“直观”理解为利用一切感觉器官，更好地、更鲜明地、更牢固地掌握事物。西方哲学家通常认为：“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”对于儿童来说，他们的认知都不是空白的，并且进入群体生活后，他们在日常的生活体验中会积累一定的经验。例如，儿童在玩耍跷跷板时，通过哪头翘起可以判断物体的轻重，这为他们将来认识天平方程等式积累直观经验。再如，儿童在用积木拼搭物体时，会考虑使用几何形状来代替某些部件，甚至还会考虑数量的关系，比如搭一个餐桌，他们肯定会找四根一样长度的积木，这样的体验虽然是直观的，但是又触及了数学的本质，同时这些直观感知为儿童建立后期的几何直观奠定了基础。

同时进入小学阶段学习后，低年级儿童正处于直观思维阶段，教师可以顺应儿童的认知发展规律，采用“做中学”的方式，加强和扩充他们的直观感知素材，以此来进一步发展他们的空间观念。例如，学生可以通过对基本图形的分类、剪拼加深理解图形的本质，教师还可以通过让学生观察某一个图形，让其重构一个图形。如学生观察一个正方形塑料片后，可以通过选择合适的木棒进行重构，这不仅可以加深他们对图形的表征能力，更能理解正方形的本质特征，还能使他们的思维有一定的飞跃，感觉到所学的知识是“具体现实的，亲身体验的，眼睛能看到的或是感觉到的，甚至想象的”，这样的感性认识可以将枯燥的知识直观化、形象化、趣味化，为“几何直观”奠定基础，打开思维大门。

二、加强儿童的数学表象

著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知。”从这个角度而言，几何直观是儿童走向数学本质的一种路径。小学阶段的儿童还离不开具体事物的支持，这时候教师需要利用几何直观图形的直观性，将其深刻地植入儿童的头脑中，以便于他们在日后的数学学习中有效提取。例如，在《认识小数》的教学中，学生虽然已经在日常生活中见过小数，同时在具体的学习情境中能使用小数，甚至能比较小数的大小，但未必能对小数有本质的理解。因此，在教学中，教师可以将抽象的数和具体的形相结合，利用数形结合进行教学。在教学时教师出示一把米尺，在米尺中上找到1分米，从分数的角度得到1/10米，接着得到0.1米。教师在这样的过程中，利用一把米尺让原来抽象的小数显现出来，并让学生明确小数的来历，更容易感受部分与整体的关系。同时通过这样的方式，还能为学生未来学习小数的相关知识奠定基础，比如0.5和0.50的理解，通过图形能清晰表示出两者的异同点。

“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”儿童的数学学习依赖于几何直观来帮助他们理解和思考，通过图形的直观性，他们可以一览无余地感受到数之间的关系，从而快速识别，拓展思维广度，更为自己解决数学问题提供思路。

三、实现文字语言与几何语言的转化

华罗庚说：“数无形不直观，形无数难入微。”从这个角度而言，其实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与直观图像联系起来进行思考，用“形”的直观补足“数”的抽象，从而使“数”与“形”相互依存，优势互补，相辅相成，为顺利解决问题提供有效的抓手。在数学学习的过程中，基本都是以文字来说明条件、以文字来提出问题的。在小学阶段，学生学习了整数、小数、分数，由于整数、小数日常生活常见，所以学生在理解上难度不是很大，但是，学生在五、六年级的时候学习分数，明显会感觉到难度很大，因为分数的形式是用两个整数表示一个不是整数的数，因此其表征性更加隐蔽，造成了学生解答上的困惑。例如，在“每小时刷一面墙的1/5，1/4小时刷这面墙的几分之几？”这个问题上，1/5表示的是一个分率，是把墙看成了单位“1”，但是学生在理解这个问题的时候，眼中只有分数1/5，很难将整面墙联系起来，而教师如果在讲解这个问题时，只是让学生机械理解分数应用题的解题步骤，那么将毫无意义。因此学生要将语言文字进行几何表达，在这个转化的过程中，教师需要引导学生用图画的形式表示出条件，先用粉色表示1/5，接着再思考1/4小时如何表示，这是一个需要慢慢思考的过程，因为这个过程需要学生抓住抽象的数学语言与直观的图形语言之间的联系，从而为发展几何直观的能力提供路径，启发思路，促进数学思考方法的发展，这也是学生学习数学上的一次思维飞跃。

四、推理中展现几何直观的思维路径

推理是从已有的判断得出新判断的思维形式。在小学阶段，学生比较常用合情推理来解释问题，虽然合情推理能避免高度抽象给他们带来的学习障碍，但是推理究其思维难度比较高，所以对绝大部分学生来说问题还是比较多。因此這就需要学生把抽象的数学问题变成直观的几何直观问题，使它们成为解决数学问题的向导，从而产生更为合理的理解，实现数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。例如，在五年级奇偶性问题时，教师让学生说明两个奇数相加的和是什么数，大部分学生都举例子进行说明，如1+3=4、3+5=8等，其中有学生进行了几何直观证明，他把1画成了一个正方形，3画成了3个正方形，“1+3=4”，4个正方形他画成了“2×2”的正方形矩阵形式。以此类推，在画的过程中我们可以发现，怎么画都可以是2个倍数，不会出现余1个的情况，这样直观的发现不仅有助于学生进一步发现数字间的规律，还能开辟学生新的思维路径。正如有数学家说，所谓的“看”是一种直接判断，是建立在长期有效的观察和思考的基础之上的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。这是一种难能可贵的数学潜质，通过直观引发学生的发现，让学生在发现中得到结论，既简洁明了又格外深刻，这就是几何直观的妙处。

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，在数学研究中起着联络、理解，甚至是提供方法的作用。而几何直观则沿着一条“具体—抽象—具体”的思维路径，用图形阐述数学问题、用图形描述问题、用图形讨论问题，形成生动的表象，实现让数学在抽象与直观间不断转化，以此形成概念、发展规律，最后帮助学生实现自己的创造性。

参考文献：

[1]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）：1-4.

[2]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学中的作用[J].数学教育学报，1997（4）：67-71.