含微结构二维固体中非对称孤立波的存在条件*

王德鑫 那仁满都拉

(内蒙古民族大学物理与电子信息学院, 通辽 028043)

引言

随着科学技术的发展,非线性物理在实际应用中越来越受到重视,孤立波作为非线性物理的一个重要分支也体现出了很高的研究价值.近年来人们研究发现微结构固体中传播的孤立波对微结构固体材料的无损检测具有重要意义.由于受科学技术手段的限制,在高维系统中孤立波的形成与传播问题的研究具有相当的难度,因此大部分研究都集中在一维情况下的控制方程[1-7].文献[8]中通过计算,给出了一维场中的孤立波传播模型,并说明该系统所描述的孤立波具有非对称的结构特点.文献[9]利用平面动力系统定性分析的方法,证明在微结构固体中当介质中的参数和孤立波的速度满足一定条件下,受微尺度非线性效应的影响可以形成非对称和对称的孤立波. 文献[10]推导出了二维Mindlin介质中波传播的控制方程,在不同初始条件下,利用数值模拟的方法给出了相应结果.

本文首先依据文献[10]的研究工作,并根据Mindlin微结构理论重新推导含微结构的二维固体中波传播的控制方程.然后利用行波变换,把复杂的非线性偏微分方程组简化为一非线性常微分方程.最后利用相图分析方法和数值方法对孤立波的存在条件进行讨论、分析和验证.

1 控制方程

依据文献[10]的研究,对含微结构的二维固体控制方程的建立要基于两个向量场,即宏观位移向量U(x,y,t)=u(x,y,t)i+v(x,y,t)j和微观形变向量Θ(x,y,t)=ψ(x,y,t)i+φ(x,y,t)j,其中x,y是空间坐标,t是时间.本文只考虑正应变,忽略微观层面上的剪切应变.因此,微结构固体中纵波传播的二维运动方程为[10]:

ρUtt=·σ+b

IΘtt=·η+τ

(1)

其中,U表示宏观位移,σ表示宏观应力,b表示外部体力,Θ表示微形变,η表示微观应力,τ表示相互作用力,ρ和I分别表示的宏观质量密度和微惯性,它们可分别表示为

A6uxψ+A7uyφ+B6vxφ+B7vyψ+

(2)

利用自由能函数,计算出σ,b,η和τ,并代入运动方程(1)可得:

(3)

为了把方程组(3)无量纲化,引入无量纲变量:

x=LX,y=LY,u=LU,v=LV,t=LT/c0,

δ=l2/L2

(4)

这时方程组(3)变为下列无量纲方程：

UTT=a1UXX+b1UYY+λ0VXY+c1ψX+

VTT=a2VXX+b2VYY+λ0UXY+c2φX+d2ψY,

δψTT=δa3ψXX+δb3ψYY+δλ1φXY-c3UX-

δφTT=δa4φXX+δb4φYY+δλ1ψXY-c4VX-

d4UY-e2φ,

(5)

其中的系数通过计算可以得到,部分系数关系如下：

(6)

分别把ψ和φ按照δ1/2的幂级数展开,再利用从属原理[11]可得到:

(7)

(8)

把(7)和(8)式代入方程(5),并忽略高阶小项,可得到关于位移U和V的控制方程

(9)

2 行波变换

对控制方程(9)进行如下行波变换:

V(x,y,t)=v(k1x+k2y-ωt),

U(x,y,t)=u(k1x+k2y-ωt),

ξ=k1x+k2y-ωt

则方程(9)变为:

vξξ=Fuξξ

整理得:

(10)

式中α1=(A-BF)/C,α2=E/C,α3=D/C.对方程(10)做变换uξ=ω,再对ξ积分一次可得:

ω2+α1ω+2α2ωξωξξ+α3ωξξ=0

(11)

求出方程(11)的精确解比较困难,故先求出微尺度非线性效应为零(即α2=0)时的精确解.利用求解非线性方程的函数展开方法,求解可得

(12)

3含微结构二维固体中非对称孤立波的存在条件及证明

令ω=x,xξ=y以把上述方程(11)改写为下面的平面系统:

(13)

为了避免该系统中的奇直线y=-α3/2α2对相图分析带来的困难,做如下变换：

dξ=(2α2y+α3)dτ

在此变换下,系统(13)就变成二维Hamilton系统：

(14)

对系统(14)进行首次积分,得到相应的Hamilton函数：

(15)

在拓扑意义下,除奇直线外,系统(13)和系统(14)有相同的相图,所以只需要研究系统(14)相图就可以了解系统(13)的相图分布.可知系统(14)有下列几个平衡点：(0,0),(-α1,0),(0,-α3/2α2)和(-α1,-α3/2α2).设E(x,y)为系统的任一平衡点,J(x,y)表示系统(14)在平衡点E(x,y)处的Jacobi行列式的取值,该点的系数行列式用M(x,y)表示,则：

J(x,y)=detM(x,y)=(2x+α1)(4α2y+α3)

平面动力系统的定性分析理论表明,对于任意平衡点E(x,y)而言,当J(x,y)<0时,平衡点E(x,y)是鞍点；当J(x,y)>0且迹T(M(x,y))=0时,平衡点E(x,y)是中心点；当J(x,y)=0且其Poincare指数为零时,平衡点E(x,y)是尖点.下面按A0的不同取值,分两种情况讨论：

情况1在A0=0的情况下,当α1与α3异号时平衡点(-α1,-α3/2α2)和(0,0)是鞍点,(-α1,0)和(0,-α3/2α2)是中心点.此时,通过相图分析可以得出以下结论：

图1 系统相图与非对称孤立波解(a)当α1=0.9、α2=0.2、α3=-0.5时系统(13)的相图和(b)存在微尺度非线性效应时的孤立波(实线)与孤立波(12)(点线)的比较Fig.1 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a)Phase diagram of system (13) when α1=0.9、α2=0.2、α3=-0.5; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

由动力系统的同宿轨道与偏微分方程的孤立波解之间的关系可知,此同宿轨道是满足边界条件|ξ|→∞,ω,ωξ,ωξξ→0的钟型孤立波解.因此,可得到下面的结论1.

图2 系统相图与非对称孤立波解(a)当α1=-1、α2=0.6、α3=1.2时系统(13)的相图和(b)存在微尺度非线性效应时的孤立波(实线)与孤立波(12)(点线)的比较Fig.2 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a)Phase diagram of system (13) when α1=-1、α2=0.6、α3=1.2; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

2)由相图2(a)可以看出,当A0=0,α1<0,α3>0时,在相平面上同样存在一条不被奇直线分割的同宿轨道.它是从鞍点(0,0)出发,绕中心点(0,-α3/2α2)又回到鞍点的同宿轨道.它位于y轴的右侧,相对x轴也是非对称的.同理可得这一同宿轨道存在时需要满足的条件：

同样,根据平面动力系统同宿轨道与偏微分方程的解之间的对应关系可得到结论2.

3)由平面动力系统的定性分析理论可知,在其他条件下,在含微结构的二维固体中不可能存在满足边界条件|ξ|→∞,ω,ωξ,ωξξ→0的孤立波.

情况2在A0=-α1的情况下,当α1与α3同号时平衡点(0,-α3/2α2)和(-α1,0)是鞍点,(-α1,-α3/2α2)和(0,0)是中心点. 此时,通过分析相图结构可得出以下结论：

1)由相图3(a)可以看出,当α1>0,α3>0时,相平面上存在一条从鞍点(0,-α3/2α2)出发绕中心点(0,0)又回到该鞍点且不被奇直线分割的同宿轨道,它存在于原点周围,与x轴非对称.此同宿轨道存在时所要满足的条件是：

因此,可得到如下结论：

图3 系统相图与非对称孤立波解(a)当α1=1、α2=0.6、α3=1.2时系统(13)的相图和(b)存在微尺度非线性效应时的孤立波(实线)与孤立波(12)(点线)的比较Fig.3 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a) Phase diagram of system (13) when α1=1、α2=0.6、α3=1.2; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

于是,可得到结论4.

图4 系统相图与非对称孤立波解(a)当α1=-0.9、α2=0.2、α3=-0.5时系统(13)的相图和(b)存在微尺度非线性效应时的孤立波(实线)与孤立波(12)(点线)的比较Fig.4 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a) Phase diagram of system (13) when α1=-0.9、α2=0.2、α3=-0.5; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

3)由平面动力系统的定性分析理论可知,在其他条件下,在含微结构的二维固体中不可能存在满足边界条件:|ξ|→∞,ω→A0,ωξ,ωξξ→0的孤立波.

4 结论

本文在文献[10]工作的基础上,根据Mindlin微结构理论重新建立了含微结构的二维固体中波传播的控制方程.利用行波变换,把复杂的非线性偏微分方程组简化为一非线性常微分方程,并利用动力系统的定性分析方法和数值方法,分析了含微结构的二维固体中孤立波的存在条件和几何特征,进而证明了在适当条件下含微结构的二维固体中可以形成非对称的钟型孤立波和非对称的反钟型孤立波. 含微结构的二维固体中非对称钟型孤立波的存在,对于微结构固体材料的无损检测提供了更具实际的理论依据,进一步增强了孤立波可用于对固体材料进行无损检测的可能性[12,13].

1Eringen A C, Suhubi E S. Nonlinear theory of simple microelastic solids I.InternationalJournalofEngineeringScience,1964,2(2):189～203

2Mindlin R D. Micro-structure in linear elasticity.ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis,1964,16:51～78

3程昌钧. 理性力学在中国的传播与发展. 力学与实践,2008,30(1):10～17 (Cheng C J. The dissemination and development of rational mechanics in China.MechanicsinEngineering,2008,30(1):17～10 (in Chinese))

4高翔,化存才,胡东坡. 时变系数下耦合KdV和Burgers方程组的孤波解. 动力学与控制学报,2014,12(4):295～303 (Gao X,Hua C C,Hu D P. Solitary wave solutions for coupled KdV-Burgers equations with variable coefficients.JournalofDynamicsandControl,2014,12(4):295～303(in Chinese))

5戴天民. 对带有微结构的弹性固体理论的再研究. 应用数学和力学, 2002,23(8):771～777 (Dai T M. Restudy of theories for elastic solids with microstructure.AppliedMathematicsandMechanics,2002,23(8):771～777 (in Chinese))

6Kadomtsev B B, Petviashvili V I. On the stability of solitary waves in weakly dispersive media.SovietPhysicsDoklady,1970,192(6):539～541

7Rudenko O V. The 40th anniversary of the Khohklov-Zabolotskaya equation.AcousticalPhysics,2010,56 (4):457～466

8Randruut M,Braun M. On one-dimensional solitary waves in microstructured solids.WaveMotion,2010,47:217～230

9那仁满都拉. 微结构固体中的孤立波及其存在条件. 物理学报,2014,63(19):154～162 (Naranmandula. Solitary wave and thier existence conditions in microstructured solids.ActaPhysicaSinica,2014,63(19):154～162 (in Chinese))

10 Sertakov I,Engelbrecht J,Janno J. Modelling 2D wave motion in microstructured solids.MechanicsResearchCommunications,2014,56(2):42～49

11 Janno J,Engelbrecht J. Inverse problems related to a coupled system of microstructure.InverseProblems,2008,24(4):5017～5032

12 韩元春,那仁满都拉,额尔敦仓. 带强迫项的变系数KdV方程的多孤立波解及其应用. 动力学与控制学报,2011,9(2):143～146 (Han Y C,Naranmandula, Ereduncang. Multiple solitary waves solution of variable coefficients Kdv equation with forcing term and ITS application.JournalofDynamicsandControl,2011,9(2):143～146 (in Chinese))

13 那仁满都拉,额尔敦仓. 立方非线性微结构固体中的对称孤立波及存在条件. 应用数学和力学,2014,35(11):1210～1217 (Naranmandula, Ereduncang. Symmetric solitary waves and their existence conditions in cubic nonlinear microstructured solids.AppliedMathematicsandMechanics,2014,35(11):1210～1217 (in Chinese))